第二章　章复习　能力整合与素养提升（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）必修 第一册

章复习　能力整合与素养提升 要点梳理系统整合 1. 不等式性质与基本不等式 不等式 性质 a>b，b>c a>c； a>b，c>0 ac>bc； a>b，c<0 acb，c>d a＋c>b＋d； a>b>0，c>d>0 ac>bd 两个实数的顺序关系： a>b a－b>0， ab>0，n∈N*，n>1 an>bn；> ab>0，a>b < 基本 不等式 最值定理 ①由x>0，y>0，x＋y≥2，若积xy＝P(为定值)，则当x＝y时，和x＋y有__最小值2__； ②由x>0，y>0，x＋y≥2，若和x＋y＝S(为定值)，则当x＝y时，积xy有__最大值__ 均值不等式 ≤(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取“＝”) 2. 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0) 的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0) 的根 有__两相异__实根x1，x2(x10(a>0) 的解集 __{x|xx2}__ __{x|x≠x0}__ __R__ ax2＋bx＋c<0(a>0) 的解集 __{x|x10，bc－ad>0，则－<0 B. 若ab>0，－>0，则bc－ad>0 C. 若bc－ad>0，－>0，则ab>0 D. 若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 【解析】对于A，因为ab>0，bc－ad>0，所以－＝>0，故A错误．对于B，因为ab>0，－>0，即>0，所以bc－ad>0，故B正确．对于C，因为bc－ad>0，－>0，即>0，所以ab>0，故C正确．对于D，因为a>b>0，c>0，所以ac>bc>0.因为c>d>0，b>0，所以bc>bd>0.综上，ac>bd，故D正确． (2) (2025·潮州期末)(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　BCD　) A. ＋的最大值为 B. ＋的最小值为9 C. a2＋4b2的最小值为 D. ab的最大值为 【解析】对于A，(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋a＋b＝2，当且仅当a＝b＝时取等号，所以＋≤，当且仅当a＝b＝时取等号，故A不正确；对于B，＋＝(a＋b)＝1＋4＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，故B正确；对于C，a2＋4b2＝(1－b)2＋4b2＝5b2－2b＋1＝52＋≥，当且仅当b＝，a＝时取等号，故C正确；对于D，ab≤＝，当且仅当a＝b＝时取等号，故D正确． 【题组训练】 1. 若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式中一定成立的是(　A　) A. a－3c>b－3c　 B. ac>bc(c≠0) C. |a|>|b|　 D. > 【解析】对于A，因为a>b，由不等式的基本性质可得a－3c>b－3c，故A正确；对于B，因为a>b，当c<0时，由不等式的基本性质可得ac0； 【解答】当a＝0时，不等式即为2x＋1>0，解得x>－，故所求解集为x>－}.当a≠0时，Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4>0，解得方程ax2＋(a＋2)x＋1＝0的两根为x1＝，x2＝，故当a>0时，所求解集为x>或x<}；当a<0时，所求解集为