第一章 5　数学归纳法（课件 学案 练习）高中数学 北师大版（2019）选择性必修 第二册

*§5　数学归纳法 1.用数学归纳法证明3n≥n3（n≥3，n∈N＋），第一步验证（　　） A.n＝1　　　　　　　　 B.n＝2 C.n＝3 D.n＝4 2.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2时，若已假设n＝k（k≥2，k为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（　　） A.n＝k＋1时等式成立 B.n＝k＋2时等式成立 C.n＝2k＋2时等式成立 D.n＝2（k＋2）时等式成立 3.某命题与自然数有关，如果当n＝k（k∈N＋）时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，则可推得（　　） A.当n＝6时，该命题不成立 B.当n＝6时，该命题成立 C.当n＝4时，该命题不成立 D.当n＝4时，该命题成立 4.用数学归纳法证明“n3＋（n＋1）3＋（n＋2）3（n∈N＋）能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开（　　） A.（k＋3）3 B.（k＋2）3 C.（k＋1）3 D.（k＋1）3＋（k＋2）3 5.（多选）对于不等式 ＜n＋1（n∈N＋），某学生使用数学归纳法证明的过程如下： ①当n＝1时， ＜1＋1，不等式成立. ②假设n＝k（k∈N＋）时，不等式成立，即 ＜k＋1，则n＝k＋1时， ＝＜＝＝（k＋1）＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，关于上述证明过程的说法正确的是（　　） A.证明过程全都正确 B.当n＝1时的验证正确 C.归纳假设正确 D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 6.（多选）设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：当f（k）≥k＋1成立时，总有f（k＋1）≥k＋2成立.下列命题总成立的是（　　） A.若f（6）＜7成立，则f（5）＜6成立 B.若f（3）≥4成立，则当k≥1时，均有f（k）≥k＋1成立 C.若f（2）＜3成立，则f（1）≥2成立 D.若f（4）≥5成立，则当k≥4时，均有f（k）≥k＋1成立 7.记凸k边形的内角和为f（k），则凸k＋1边形的内角和f（k＋1）＝f（k）＋　　　　. 8.用数学归纳法证明“当n∈N＋时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为　　　　　，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是　　　　　　　　. 9.用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f（n）部分，则f（n）＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f（k＋1）＝f（k）＋　　　　. 10.设f（n）＝1＋＋＋…＋（n∈N＋）.求证：f（1）＋f（2）＋…＋f（n－1）＝n[f（n）－1]（n≥2，n∈N＋）. 5　数学归纳法 1.C　由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3时不等式是否成立. 2.B　因为已知n为正偶数，故当n＝k时，下一个偶数为k＋2. 3.C　若n＝4时，该命题成立，由条件可推得n＝5时命题成立.所以若n＝5时该命题不成立，则n＝4时该命题也不成立. 4.A　假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋（k＋1）3＋（k＋2）3能被9整除.当n＝k＋1时，（k＋1）3＋（k＋2）3＋（k＋3）3为了能用上面的归纳假设，只需将（k＋3）3展开，让其出现k3即可. 5.BCD　n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求.故选B、C、D. 6.AD　若f（5）＜6不成立，则f（5）≥6，由题意知f（6）≥7，与f（6）＜7成立矛盾，所以f（5）＜6成立，A正确.B、C显然错误.若f（4）≥5成立，由题意，得当k≥4时，均有f（k）≥k＋1成立，故D正确.所以选A、D. 7.π　解析：由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f（k＋1）＝f（k）＋π. 8.1＋2＋22＋23＋24　25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4 解析：当n＝1时，原式应加到25×1－1＝24，所以原式为1＋2＋22＋23＋24，从n＝k到n＝k＋1时需添25k＋25k＋1＋…＋25（k＋1）－1. 9.k＋1　解析：f（k）＝1＋，f（k＋1）＝1＋，∴f（k＋1）－f（k）＝［1＋］－＝k＋1， ∴f（k＋1）＝f（k）＋（k＋1）. 10.证明： ... ...