(课件网) 培优课 利用导数证明不等式 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 题型一 移项作差构造函数证明不等式 【例1】 已知函数 f （ x ）＝1－ ， g （ x ）＝ ＋ － bx ，若曲线 y ＝ f （ x ）与曲线 y ＝ g （ x ）的一个公共点是 A （1，1），且在点 A 处的切线互相垂直. （1）求 a ， b 的值； 解： 因为 f （ x ）＝1－ ， x ＞0， 所以f'（ x ）＝ ，f'（1）＝－1. 因为 g （ x ）＝ ＋ － bx ， 所以g'（ x ）＝－ － － b . 因为曲线 y ＝ f （ x ）与曲线 y ＝ g （ x ）的一个公共点是 A （1， 1），且在点 A 处的切线互相垂直， 所以 g （1）＝1，且f'（1）·g'（1）＝－1， 所以 g （1）＝ a ＋1－ b ＝1，g'（1）＝－ a －1－ b ＝1， 解得 a ＝－1， b ＝－1. （2）证明：当 x ≥1时， f （ x ）＋ g （ x ）≥ . 解： 证明：由（1）知， g （ x ）＝－ ＋ ＋ x ， 则 f （ x ）＋ g （ x ）≥ 1－ － － ＋ x ≥0. 令 h （ x ）＝1－ － － ＋ x （ x ≥1）， 则 h （1）＝0，h'（ x ）＝ ＋ ＋ ＋1＝ ＋ ＋1. 因为 x ≥1，所以h'（ x ）＝ ＋ ＋1＞0， 所以 h （ x ）在[1，＋∞）上单调递增， 所以当 x ≥1时， h （ x ）≥ h （1）＝0， 即1－ － － ＋ x ≥0， 所以当 x ≥1时， f （ x ）＋ g （ x ）≥ . 通性通法 一般地，要证 f （ x ）＞ g （ x ）在区间（ a ， b ）上成立，需构造 辅助函数 F （ x ）＝ f （ x ）－ g （ x ），通过分析 F （ x ）在端点处的 函数值来证明不等式.若 F （ a ）＝0，只需证明 F （ x ）在（ a ， b ） 上单调递增即可；若 F （ b ）＝0，只需证明 F （ x ）在（ a ， b ）上单 调递减即可. 【跟踪训练】 已知函数 f （ x ）＝e x － ax （e为自然对数的底数， a 为常数）的图象 在点（0，1）处的切线斜率为－1. （1）求 a 的值及函数 f （ x ）的极值； 解： f'（ x ）＝e x － a ，∴f'（0）＝1－ a ， 又∵ f （ x ）的图象在点（0，1）处的切线斜率为－1， 即1－ a ＝－1，∴ a ＝2. ∴ f （ x ）＝e x －2 x ，f'（ x ）＝e x －2. 令f'（ x ）＝0，解得 x ＝ln 2. 当 x ＜ln 2时，f'（ x ）＜0，函数 f （ x ）单调递减； 当 x ＞ln 2时，f'（ x ）＞0，函数 f （ x ）单调递增. ∴当 x ＝ln 2时，函数 f （ x ）取得极小值，为 f （ln 2）＝2－2ln 2，无极大值. （2）求证：当 x ＞0时， x2＜e x . 解： 证明：令 g （ x ）＝e x － x2，则g'（ x ）＝e x －2 x ， 由（1）得g'（ x ）＝ f （ x ）≥ f （ln 2）＞0， ∴ g （ x ）在R上是增函数， 因此当 x ＞0时， g （ x ）＞ g （0）＝1＞0，∴ x2＜e x . 题型二 构造双函数证明不等式 【例2】 已知函数 f （ x ）＝eln x － ax （ a ∈R）. （1）讨论 f （ x ）的单调性； 解： f'（ x ）＝ － a （ x ＞0）， ①若 a ≤0，则f'（ x ）＞0， f （ x ）在（0，＋∞）上为增函数； ②若 a ＞0，则当0＜ x ＜ 时，f'（ x ）＞0； 当 x ＞ 时，f'（ x ）＜0.故在 上， f （ x ）单调递增；在 上， f （ x ）单调递减. （2）当 a ＝e时，证明： xf （ x ）－e x ＋2e x ≤0. 解： 证明：因为 x ＞0，所以只需证 f （ x ）≤ －2e， 由（1）知，当 a ＝e时， f （ x ）在（0，1）上单调递增， 在（1，＋∞）上单调递减，所以 f （ x ）max＝ f （1）＝－e. 记 g （ x ）＝ －2e（ x ＞0），则g'（ x ）＝ ， 所以当0＜ x ＜1时，g'（ x ）＜0， g （ x ）单调递减； 当 x ＞1时，g'（ x ）＞0， g （ x ）单调递增， 所以 g （ x ）min＝ g （1）＝－e. 所以当 x ＞0时， f （ x ）≤ ... ...
