一、数学运算与逻辑推理 数学运算、逻辑推理这两大核心素养在本章中体现较多，主要涉及以下内容：（1）导数计算；（2）利用导数研究函数的单调性、极值、最值；（3）不等式的证明；（4）恒成立（能成立）的转化. 培优一 导数的几何意义 【例1】 （1）（2023·全国甲卷8题）曲线y＝在点（1，）处的切线方程为（ ） A.y＝x B.y＝x C.y＝x＋ D.y＝x＋ （2）（2022·新高考Ⅱ卷）曲线y＝ln ｜x｜过坐标原点的两条切线的方程为 ， . 尝试解答 培优二 利用导数研究函数的单调性 【例2】 （1）设a＝2ln 1.01，b＝ln 1.02，c＝－1，则（ ） A.a＜b＜c B.b＜c＜a C.b＜a＜c D.c＜a＜b （2）（2023·新高考Ⅱ卷6题）已知函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的最小值为（ ） A.e2 B.e C.e－1 D.e－2 （3）（2023·全国乙卷16题）设a∈（0，1），若函数f（x）＝ax＋（1＋a）x在（0，＋∞）上单调递增，则a的取值范围是 . 尝试解答 培优三 利用导数研究函数的极值和最值 【例3】 （1）（2022·全国乙卷）函数f（x）＝cos x＋（x＋1）sin x＋1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为（ ） A.－， B.－， C.－，＋2 D.－，＋2 （2）（多选）（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数f（x）＝x3－x＋1，则（ ） A.f（x）有两个极值点 B.f（x）有三个零点 C.点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心 D.直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线 （3）（2022·全国乙卷）已知x＝x1和x＝x2分别是函数f（x）＝2ax－ex2（a＞0且a≠1）的极小值点和极大值点.若x1＜x2，则a的取值范围是 . 尝试解答 培优四 利用导数证明不等式 【例4】 （2023·新高考Ⅰ卷19题）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x. （1）讨论f（x）的单调性； （2）证明：当a＞0时，f（x）＞2ln a＋. 尝试解答 培优五 利用导数解决恒成立问题 【例5】 已知a＞0，函数f（x）＝ax－xex. （1）求函数y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）证明f（x）存在唯一极值点； （3）若存在a，使得f（x）≤a＋b对于任意的x∈R成立，求实数b的取值范围. 尝试解答 培优六 利用导数研究方程的根或函数的零点 【例6】 （2022·全国乙卷）已知函数f（x）＝ln（1＋x）＋axe－x. （1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）若f（x）在区间（－1，0），（0，＋∞）各恰有一个零点，求a的取值范围. 尝试解答 【例7】 已知函数f（x）＝ex－a（x＋2）. （1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围. 尝试解答 二、数学建模 利用导数解决函数在实际问题中的应用问题，培养了学生的数学建模核心素养. 培优七 导数的实际应用 【例8】 时下，网校教学越来越受广大学生的喜爱，它已经成为学生课外学习的一种方式.假设某网校的套题每日的销售量y（单位：千套）与销售价格x（单位：元/套）满足关系式：y＝＋4（x－6）2，其中2＜x＜6，m为常数，已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套. （1）求m的值； （2）假设网校的员工工资、办公费用等所有开销折合为每套题2元（只考虑售出的套题）.试确定销售价格x为何值时，网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数） 尝试解答 章末复习与总结 【例1】 （1）C （2）y＝x y＝－x 解析：（1）由题意可知y'＝＝，则曲线y＝在点（1，）处的切线斜率k＝y'｜x＝1＝，所以曲线y＝在点（1，）处的切线方程为y－＝（x－1），即y＝x＋，故选C. （2）先求当x＞0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为（x0，y0），则由y'＝，得切线斜率为，又切线的斜率为，所 ... ...
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