1.1　第2课时　空间向量的数量积运算（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）选择性必修 第一册

第2课时　空间向量的数量积运算 学习 目标 1. 了解空间向量夹角的概念及表示，掌握空间向量数量积的概念、性质和运算律． 2. 了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义． 3. 能利用两个向量的数量积解决一些空间中的简单问题． 新知初探基础落实 一、 概念表述 1. 空间两个向量的关系 (1) 若〈a，b〉＝0，则向量a，b方向相同；　 (2) 若〈a，b〉＝π，则向量a，b方向相反；　 (3) 若〈a，b〉＝，则向量a，b互相垂直，记作a⊥b． 2. 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉.规定：零向量与任意向量的数量积都为0. 3. 如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos 〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 　　　　 图(1) 　 　　 　　图(2) 　 　 　 　 　图(3) 二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 两向量所成的角就是两条直线所成的角．(　×　) (2) 对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件．(　√　) (3) 若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．(　×　) (4) 对任意空间向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a，b共线时等号成立．(　√　) 典例精讲能力初成 探究1　投影向量 例1　已知空间向量a，b满足|a|＝，|b|＝5，且a与b夹角的余弦值为－，则a在b上的投影向量为(　D　) A. －b　　　 B. b C. b　　　　　　　　 　D. －b 【解析】 因为|a|＝，|b|＝5，a与b夹角的余弦值为－，所以a在b上的投影向量为＝[]＝＝－b. 变式1　如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，向量 在向量 上的投影向量的模是． (变式1) 【解析】 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量与向量的夹角为45°，所以＝||cos 〈，〉＝1×cos 45°＝，故向量在向量上的投影向量的模是＝. 探究2　利用向量的数量积求角 例2　在三棱柱ABC-A1B1C1中，若底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　B　) A. B. C. D. 【解析】 如图，设＝c，＝a，＝b，棱长均为1，则a·b＝b·c＝a·c＝.因为＝a＋c，＝b－a＋c，所以·＝(a＋c)·(b－a＋c)＝a·b－a2＋a·c＋b·c－a·c＋c2＝－1＋＋－＋1＝1，||＝＝＝＝，||＝＝＝＝，所以cos 〈，〉＝＝＝，所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为. (例2答) 变式2　已知空间中四个不共面的点O，A，B，C，若||＝||，且cos 〈，〉＝cos 〈，〉，则异面直线OA与BC所成角的正弦值为(　A　) A. 1 B. C. D. 【解析】 因为cos 〈，〉＝cos 〈，〉，所以＝.又||＝||，所以·＝·，从而·＝·(－)＝0，所以⊥，于是sin 〈，〉＝sin ＝1. 探究3　利用向量的数量积求距离(长度) 例3　(教材P9练习第3题)如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.求： 　(例3) (1) ·； 【解答】 　·＝||·||·cos 60°＝5×4×＝10. (2) AB′的长； 【解答】 因为＝＋，所以2＝(＋)2＝2＋2·＋2＝25＋2×10＋16＝61，所以||＝，即AB′的长为. (3) AC′的长． 【解答】 因为＝＋＝＋＋，所以2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝16＋9＋25＋2＝85，所以||＝，即AC′的长为. 本题先利用空间向量的线性运算表示出所求向量，再利用模的运算性质及数量积 ... ...