1.4　第2课时　空间中直线、平面的平行与垂直（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）选择性必修 第一册

第2课时　空间中直线、平面的平行与垂直 学习 目标 1. 能用向量语言表述空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系． 2. 能用向量方法判断或证明空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系． 3. 能用向量方法判断或证明空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系． 新知初探基础落实 一、 概念表述 1. 线线平行的向量表示：设u1，u2分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2 u1∥u2 λ∈R，使得u1＝λu2． 2. 线面平行的向量表示：设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则l∥α u⊥n u·n＝0． 3. 面面平行的向量表示：设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2. 4. 线线垂直的向量表示：设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0． 5. 线面垂直的向量表示：设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α u∥n λ∈R，使得u＝λn． 6. 面面垂直的向量表示：设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0． 二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 两直线的方向向量垂直，则两直线垂直．(　√　) (2) 若直线的方向向量和平面的法向量平行，则该直线与平面平行．(　×　) (3) 若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面一定平行．(　×　) (4) 若两平面垂直，则这两个平面的法向量所成的角一定是90°.(　√　) 典例精讲能力初成 探究1　利用空间向量证明线线平行 例1　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点，求证：PQ∥RS. 【解答】 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则P(3，0，1)，Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S(0，4，1)，＝(－3，2，1)，＝(－3，2，1)，所以＝，则∥，即PQ∥RS. (例1答) 证明两直线平行的方法 方法一(基向量法)：分别取两条直线的方向向量m，n，证明m∥n，即存在λ，使得m＝λn. 方法二(坐标法)：建立空间直角坐标系，把直线的方向向量用坐标表示，如m1＝(x1，y1，z1)，m2＝(x2，y2，z2)，即存在λ，使得m1＝λm2，即x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2. 探究2　利用空间向量证明线面平行 例2　(教材P30例3补充)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1D1，AB的中点，E在AA1上且AE＝2EA1，F在CC1上且CF＝FC1，试判断ME是否与平面NCF平行． (例2) 【解答】 设AD＝a，DC＝b，DD1＝c，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，E，M，N，F，C(0，b，0)，所以＝，＝，则＝－，从而ME∥NF.因为ME∥NF，ME 平面NCF，NF 平面NCF，所以ME∥平面NCF. (例2答) 向量法证明线面平行的思路 (1) 利用法向量． (2) 根据线面平行的判定定理，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可． (3) 根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． 探究3　利用空间向量证明面面平行 例3　(教材P30例2补充)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，G分别为AB，B1C，BC的中点． (例3) (1) 求证：平面A1BD∥平面B1CD1； 【解答】 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)，D1(0，0，2)，C1(0，2，2)，所以＝(2，0，2)，＝(2，2，0).设平面A1BD的法向量为m＝(x，y，z)，则m·＝0，m·＝0，即所以可取m＝(－1，1，1).同理平面B1CD1的一个法向量为n＝(－1，1，1)，因为m∥n，所以平面A1BD∥平面B1CD1. (例3答) (2) 求证：平面MNG∥平面ACC1. 【解答】 因为M，N，G分别为A ... ...