4.1.1 根式 课件（21页） 2025-2026学年苏教版（2019）高中数学 必修第一册

4.1.1 根式 1.理解n次方根及根式的概念. 2.能正确运用根式的运算性质化简求值. 某种细胞分裂时，由 1个分裂成 2个，2个分裂成4 个，4个分裂成8个······ 如果分裂一次需要 10 min，那么，1个细胞1 h后分裂成多少个细胞? 解：假设细胞分裂的次数为 x，相应的细胞个数为 y，则 y＝2x. 由题中条件可知，x＝60÷10＝6， 那么，当 x＝6 时，y＝26＝64， 即1个细胞 1 h 后分裂成 64 个细胞. 在上述例子中，x只能取正整数，可以规定 2－x＝12???? 和 20＝1，使得 2x 对 x 取负整数和 0 也是有意义的.那么，2x中的 x 能取分数甚至无理数吗? ? y＝2x 我们知道，如果 x2＝a，那么 x 称为 a 的平方根； 如果 x3＝a，那么 x 称为 a 的立方根. 一、n 次方根 一般地，如果 xn＝a (n＞1，n∈N*)，那么称 x为 a 的 n 次方根. （1）当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数. 这时，a 的 n 次方根只有一个，记为 x＝na. 例如， ? 33＝27 ? 3＝327 ； (－2)3＝－8 ?－2＝3－8； x3＝6 ? x＝36. ? xn＝a (n＞1，n∈N*) （2）当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们为相反数. 这时，正数a的正的n次方根用符号n????表示，负的n次方根用符号－n???? 表示， 它们可以合并写成±n???? (a＞0)的形式. 例如， ? x4 ＝ 6 ? x ＝ ±46 ； x2＝3 ? x ＝ ±3 . ? xn＝a (n＞1，n∈N*) 可用下表表示： n为奇数 n为偶数 a∈R a＞0 a＝0 a＜0 x＝_____ x＝_____ x＝0 不存在 ???????? ? ±???????? ? 需要注意的是，0 的 n 次方根等于 0 . 二、根式 (1) 式子 n???? 叫作根式， n叫作根指数，a 叫作被开方数. ? 根指数 被开方数 根式 例1：求下列各式的值 (1) (5)2； (2) (3－2)3 ； (3) 4(－2)4； (4) (3－?π)2. ? ＝ 5. ＝ －2. ＝ 424 ＝2. ? ＝(π－3)2＝π－3. ? 试一试：观察下列各式，尝试分析、归纳出根式的性质. 22＝2，(－2)2＝2＝∣－2∣； 424＝2，4(－2)4＝2＝∣－2∣； 626＝2，6(－2)6＝2＝∣－2∣； 333＝3，3(－3)3＝－3； 535＝3，5(－3)5＝－3； ······ ? 当n＞1，n∈N* 时， ① (????????)n＝_____； a，n 为奇数 ② ????????????＝ _____＝ n为偶数. ? a，a ≥0， －a，a＜0， a |a| 根式的性质： 知识归纳 1. 计算： (1) 25； (2) 3827 ； (3) 532； (4) 4116 ； ? ＝ 52 ＝ 5 ? ＝3(23)3＝ 23 ? ＝ 525 ＝ 2 ? ＝4(12)4＝ 12 ? 练一练 (1) (2－2)2； (2) (34)3； (3) 3－22. ? ＝∣2－2∣＝2－2 ? ＝4 ＝(2－1)2＝∣2－1∣＝2－1 ? 2. 求下列各式的值： 练一练 3. 化简： (1) 4(????－4)4 (a＞4)； ? (2) 3(2－????)?3； ? ＝ ∣a－4∣＝a－4 ＝ 2 － a (3) ????2＋2????＋1 (a＞－1)； ? ＝(????＋1)2＝ ∣a＋1∣＝a＋1 ? (4) (????－1)2 ＋3????3 (a ＜1). ? ＝ ∣a－1∣＋a ＝1－a＋a ＝1 练一练 1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值． 2.若开偶次方根，注意要带上绝对值然后再化简;若式子中含有字母参数，展开时如有必要应对字母参数进行讨论. 讨论：现在你能归纳出根式化简或求值时的注意点吗？ 结合以下内容，回顾本节课所学知识： 1、n次方根和根式的概念. 2、根式的性质及应用 1.(多选)若a是实数，则下列式子中一定有意义的是（ ） 解：当a<0时，a的偶次方根无意义，所以D中式子可能无意义，A、B、C中的式子对?a∈R均有意义，故选ABC. ABC A.4????2 B.5???? C.5????? D.4???? ? 2.(多选)下列各式错误的是（ ） ABD 解： A A.xy<0 B.xy>0 C.x>0，y>0 D.x<0，y>0 解：由题意知－x3>0，所以x<0， -????? ... ...