21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 【题型1】求两根和与积 2 【题型2】根据两个根的关系式，求代数式或系数的值 4 【题型3】根的判别式与根与系数关系的综合 6 【知识点1】根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=，反过来也成立，即=-（x1+x2），=x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 1.（2025 象州县一模）一元二次方程x2-mx+6=0的一个根是3，则另一个根是（ ） A．2B．3C．-5D．6 【答案】A 【分析】设方程的另一个根为m,由根与系数的关系即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设方程的另一个根为m, 则有3m=6， 解得：m=2， 故选：A． 2.（2025 郑州二模）已知关于x的一元二次方程x2+mx-3=0一个根为3，则另一个根为（ ） A．1B．-1C．2D．-6 【答案】B 【分析】设方程的另一根为x,利用根与系数的关系可得到关于x的方程，可求得答案． 【解答】解： 设方程的另一根为x, ∵方程x2+mx-3=0一个根为3， ∴3x=-3，解得x=-1，即方程的另一根为-1， 故选：B． 【题型1】求两根和与积 【典型例题】下列方程中两根之和为2的方程是（ ） A.x2+2x+1=0 B.x2-x+2=0 C.3x2-6x+1=0 D. x2 2x+1＝0 【答案】C 【解析】解：在方程x2+2x+1=0中，两根之和等于-2，故A不符合题意； 在方程x2-x+2=0中，两根之和等于1，故B不符合题意； 在方程3x2-6x+1=0中，两根之和等于2，故C符合题意； 在方程x2 2x+1＝0中，两根之和等于4，故D不符合题意， 故选：C． 【举一反三1】方程3x2-5x-1=0的两根为x1、x2，下列各式正确的是（ ） A.x1+x2＝，x1x2＝ B.x1+x2＝ ，x1x2＝ C.x1+x2=5，x1x2=-1 D.x1+x2＝，x1x2＝ 【答案】A 【解析】解：∵方程3x2-5x-1=0的两根为x1、x2， ∴x1+x2＝，x1x2＝ ， 故选：A． 【举一反三2】若一元二次方程x2－3x＋1=0的两根为x1和x2，则x1＋x2=_____. 【答案】3 【解析】∵一元二次方程x2－3x＋1=0的两根为x1和x2，∴x1＋x2=3. 【举一反三3】已知关于x的一元二次方程x2-ax+3=0的一个根是3，则方程的另一个根是 ． 【答案】1． 【解析】解：设方程的另一个根为k, ∵方程的一个根为3， ∴3k=3， ∴k=1， 故答案为：1． 【举一反三4】已知关于x的方程x2－x＋a=0有两个实数根2，b.求a，b的值. 【答案】解：∵关于x的方程x2－x＋a=0有两个实数根2，b. ∴2＋b=1，2b=a， ∴b=－1，a=－2. 【举一反三5】求下列方程两个根的和与积： （1）x2-3x+2=10； （2）5x2+x-5=0； （3）x2+x=5x+6； （4）7x2-5=x+8． 【答案】解：（1）原方程化为：x2-3x-8=0， 设方程的两根分别为x1，x2， 根据根与系数的关系得x1+x2=3，x1x2=-8. （2）5x2+x-5=0； 设方程的两根分别为x1，x2， 根据根与系数的关系得x1+x2=-，x1x2=-1. （3）原方程化为：x2-4x-6=0， 设方程的两根分别为x1，x2， 根据根与系数的关系得x1+x2=4，x1x2=-6. （4）原方程化为：7x2-x-13=0， 设方程的两根分别为x1，x2， 根据根与系数的关系得x1+x2=，x1x2=-. 【题型2】根据两个根的关系式，求代数式或系数的值 【典型例题 ... ...
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