4.1.2 无理数指数幂 课件(共22张PPT)2025-2026学年湘教版（2019）高中数学 必修第一册

4.1.2 无理数指数幂 学习目标 1.从有理数指数幂的运算及有理数指数幂不等式，初步掌握无理数指数幂的概念． 2.能利用实数指数幂的运算性质进行指数运算. 复习回顾 ???????? ? 根指数 被开方数 根式 （????????）????=???? 当????为奇数时，????????????=????; 当????为偶数时，????????????=|????|. ? ????????????=???????????? 1????????????=????????????? ? ?????????????????=????????+????(????>0,????,????∈????) (????????)????=????????????(????>0,????,????∈????) (????????)????=????????????????(????>0,????>0,????∈????,) ? 导入新课 我们知道,对任意正整数????和正数????，若????>1，则????????>1； 若????<1，则????????<1.那么，对于任意正有理数????????，????????????和1之间 是否也有类似的关系呢？ ? 怎么证明？ 新课学习 知识点1：有理数指数幂的基本不等式 试着证明当正数????<1时，有????????????<1 ? 设????>1，假设????1????≤1 则（????1????）????=????≤1，与已知????>1矛盾，故????1????＞1 进一步可推知????????????=(????1????)????>1 ? 反证法 新课学习 对任意的正有理数r和正数a，若a>1，则ar>1；若a<1，则ar<1； 综合起来得到有关有理数指数幂的基本不等式: 对任意的负有理数r和正数a，若a>1，则ar<1；若a<1，则ar>1； 对任意正数????>1和两有理数????>????，有????????????????=?????????????>1，则????????>????????； 对任意正数????<1和两有理数????>????，有????????????????=?????????????<1，则????????0，当????是任意有理数时,????????都有了意义. 在实际问题中,变量????可以是有理数，也可以是无理数,正数的无理数指数幂又怎么定义呢? ? ax 有理数 无理数 想一想：????2是什么意思？它的大小怎么确定？ ? 设a=10，102的大小是多少？ ? 新课学习 我们来看102的近似值 ? 2的近似值 102 的近似值 1<2<2 10<102<102 1.4<2<1.5 101.4 <102 <101.5 1.41<2<1.42 101.41 <102 <101.42 1.414<2<1.415 101.414 <102 <101.415 1.4142<2<1.4143 101.4142 <102 <101.4143 计算出101.4142=25.95374?>25.95,101.4143=25.95971?<25.96, 知道 25.95<102<25.96 ,获得了102的四位有效数字. ? 这样,用????的有理数次幂来逼近其无理数次幂,可以要多精确就有多精确. ? 新课学习 无理数指数幂au(a>0，u是无理数)是一个确定的实数. au 底数 指数 在幂的表达式????????中,????叫作底数,????叫作指数. ? 因此，给定任意正数????，对任意实数????，????的????次幂????????都有了定义. ? 有理数指数幂的运算法则对实数指数幂成立吗？ 对于任意有理数????,????，均有： ? （1） ?????????????????=????????+????(????>0,????,????∈????) （2） (????????)????=????????????(????>0,????,????∈????) （3） (????????)????=????????????????(????>0,????>0,????∈????,) ? 新课学习 类似地，可以得到实数指数幂的基本不等式： 对任意的正数????和正数????， 若????>1则????????>1；若????<1则????????<1. 对任意的负数????和正数????， 若????>1则????????<1；若????<1则????????>1. ? 例题解析 例1.化简下列各式： （1）(32)2 （2）(?2)4?4?????2 ? 解： （1）(32)2=32?2=32=9 ? （2）(?2)4?4?????2=42?4?????2=42+?????2=4???? ? 例题解析 例2 已知a>1，h>0，对任意的实数u，求证： ????????+2??????????+? > ????????+?????????? ? 指数幂比较大小常用作商法 证明：因为????????+2?，????????+?，????????都是正数，且 ? ????????+2?????????+?=????????+?????????=?????>1， ? 故????????+2??????????+?，????????+????? ... ...