2024-2025学年江苏省南京市南京师范大学附属中学高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南京市南京师范大学附属中学高二上学期期末考试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知直线，若，则的值为( ) A. B. C. D. 或 2.已知数列为等比数列，，若的前项和为，则数列的前项和为( ) A. B. C. D. 3.已知函数，则的值为( ) A. B. C. D. 4.若为等差数列，则“”是“”的( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 5.函数，若存在，使有解，则的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 6.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分包括边界的动点，则的最小值为( ) A. B. C. D. 7.已知双曲线左、右顶点分别为若直线与两条渐近线分别交于，且，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 8.已知无穷数列的通项公式为，其前项和为，若对于任意，有恒成立，则实数的取值集合为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知椭圆的左右两个焦点分别为、，左右两个顶点分别为、，点是椭圆上任意一点与不重合，，则下列命题中正确的命题是( ) A. B. 的最大面积为 C. 存在点，使得 D. 的周长最大值是 10.已知数列共有项为不小于的正整数，且若对于任意正整数，有，则称该数列为“反比数列”记“反比数列”的前项和为，前项乘积为，则下列说法正确的有( ) A. B. C. 中不可能出现连续五项构成等比数列 D. 当时，，则的最大值为 11.对于函数，下列说法正确的是( ) A. 函数在上单调递减 B. 对于任意实数恒成立 C. 是函数的一个极大值点 D. 函数有无数个极大值点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在无穷等差数列中，若，且，则 ． 13.已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上两点，则的最小值为 14.若函数的图象恰好经过三个象限，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知函数． 求在处的切线方程； 求在上的值域； 16.本小题分 已知圆：，圆的圆心在直线上，且过点，． 求圆的标准方程； 已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率． 17.本小题分 已知数列满足：，其前项和为． 证明：为等比数列，并求数列的通项公式； 证明：． 18.本小题分 已知为实数，函数． 讨论的单调性； 当时，若恒成立，求的取值范围； 证明：． 19.本小题分 已知椭圆，点，，为坐标原点，且． 求椭圆方程； 设是椭圆上的两个动点，且满足， 求的面积； 已知点，且直线与交于点，直线与交于点，试探究是否为定值？若是定值，请求出该定值，若不是，请说明理由． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.【详解】由， 因此在处的切线是． 由，列表如下 增 减 增 从上表可知，在上的值域是． 16.解：设圆的圆心坐标为，半径为， 根据题意， 可得， 解得， 所以圆的标准方程为； 圆：的圆心为，半径， 因为， 所以两圆外离，公切线有四条， 根据第二象限内的点在圆上， 可知满足题意的切线是图中的， 下面求公切线的斜率， 结合图形可知的斜率存在， 设方程为， 圆心到切线的距离， 圆心到切线的距离， 根据两式相除， 可得 ， 整理得， 所以或， 即或． 当时，代入可得， 两边平方、整理得， 解得或， 当时，代入并整理， 可得，解得， 由于，且， 所以直线的斜率为， 综上所述，满足题意的的斜率等于． 17.【详解】由题意每一项都不为零．由得， 所以， 因此是首项为，公比为的等比数列， 所以，故； 对于任意的正整数，因为，所以 ... ...