圆的方程：公切线问题、公共弦问题、对称问题专项训练（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆的方程：公切线问题、公共弦问题、对称问题专项训练 考点目录 公切线问题 公共弦问题 对称问题 ( 考点一 公切线问题 ) 1．（2025·山东·模拟预测）已知圆与圆有三条公切线，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知，两圆外切，由圆方程得，半径， 由圆方程得，半径，则，解得. 故选：D 2．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知圆，圆，若两圆的公切线恰有四条，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由两圆的公切线恰有四条，即两圆相离， 对于，圆心，半径， 对于，圆心，半径， 所以，则，即或. 故选：D 3．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 4．（24-25高三下·辽宁·期中）圆与圆的公切线条数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆的方程等价于， 所以圆是以为圆心，为半径的圆， 圆 是以为圆心，为半径的圆， 所以圆，圆的圆心距为， 圆，圆半径之和为， 即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切， 所以圆，圆有3条公切线． 故选：C 5．（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 6．（25-26高三上·河北·开学考试）若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知圆，半径，圆，半径. ∵圆与圆有且仅有2条公切线，∴圆与圆相交，∴， ∴点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）. 又，∴代表点到直线的距离的5倍. ∵圆心到直线的距离为1， ∴圆环内的点到直线的距离， ∴的取值范围为. 故选：C. 7．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中·多选）与圆和圆都相切的直线方程可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切， 则两圆有三条公切线，如图， 的中点为两圆外切切点， 当公切线过的中点，且与垂直时， 因为，所以公切线的方程为，即； 当公切线与平行，且到公切线的距离为时， 设公切线的方程为， 所以，解得或， 所以公切线的方程为或． 综上所述，公切线的方程为或或. 故选：BCD． 8．（24-25高二上·山西运城·期末）已知圆和圆，则圆与圆的公切线有 条. 【答案】 【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径为， 的圆心坐标为，半径为， 则圆心距为， 故两圆外切，则两圆的公切线的条数是3条， 故答案为：3 9．（2024·江西景德镇·一模）已知与，若存在实数的值使得两圆仅有一条公切线，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为， ∴，半径为， 因为， ∴，半径为， 若两圆仅有一条公切线，即两圆相内切， ∴， 由于，故， 解得，即的最小值为， 故答案为：. 10．（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 【答案】（或或，任写一条即可，答案不唯一） 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆心距为，故两圆外切， 两圆圆心所在直线的方程为，即，中点为， 切线垂直于直线，且经过中点，所以切线的方程为； 切线平行于直线，且到直线的距离为， 设平行于直线切线方程为， 则或， 所以切线的方程分别为. 故答案为：（或或，任写一条即可，答案不唯一）. 11．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）已知圆，直线，直线，. (1)探求与是否垂直； (2)若，判断与圆的位置关系； (3)若，求圆与圆公切线的条数. 【答案】(1)答案见解析 (2)相 ... ...