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课件网) 1.1 空间向量及其运算 1.1.2 空间向量基本定理 探究点一 共线问题 探究点二 空间向量的共面问题 探究点三 空间向量基本定理 探究点四 空间向量基本定理的应用 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.了解共线向量、共面向量的意义,掌握它们的表示方法; 2.理解向量共线、共面的充要条件及其推论,并能证明空间向量的共 线、共面问题; 3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 知识点一 共线向量基本定理与共面向量定理 1.共线向量基本定理：如果且，则存在_____的实数 ， 使得 . 2.平面向量基本定理：如果平面内两个向量与 _____，则对该 平面内任意一个向量，存在唯一的实数对，使得 . 3.共面向量定理：如果两个向量，_____，则向量，， 共面 的充要条件是，存在_____的实数对，使 . 唯一 不共线 不共线 唯一 4.判断空间中四点是否共面的方法：如果，， 三点_____，则 点在平面内的充要条件是，存在_____的实数对 ，使 . 不共线 唯一 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）若,则与, 共面.( ) √ [解析] 由共面向量定理得，若,则与, 共面. （2）若与,共面,则 .( ) × [解析] 当与共线,而与不共线时, 不成立. （3）若,则,,, 四点共面.( ) √ [解析] 由共面向量定理得,若,则,,, 四点共面. （4）若,,,四点共面,则 .( ) × [解析] 当与共线,而与不共线时, 不 成立. 知识点二 空间向量基本定理 1.定理：如果空间中的三个向量,, _____,那么对空间中的任意 一个向量,存在唯一的有序实数组 ,使得_____. 不共面 2.基底：空间中不共面的三个向量，， 组成空间向量的一组基底 {,, }. 3.基向量：基底{，，中，， 都称为基向量. 4.空间向量基本定理的三个关注点: （1）空间任意向量:用空间三个不共面的向量,, 可以线性表示出 空间中任意一个向量,而且表示的结果是唯一的. （2）基底的选取:空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间向 量的一组基底. （3）特别地，当，， 不共面时，可知 . 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）空间中的任何一个向量都可用三个给定的向量表示.( ) × [解析] 空间中的任何一个向量都可用三个不共面的向量表示. （2）若,,为空间向量的一组基底,则,, 都不是零向量.( ) √ （3）若向量,与任何向量都不能构成空间向量的一组基底,则与 共线.( ) √ （4）任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底.( ) × [解析] 空间向量的一组基底是由三个不共面的向量构成的. 探究点一 共线问题 例1 如图所示，在正方体中， 在 上，且，在上，且 . 求证：，， 三点共线. 证明：连接，，设，， . ，，， ， ， ， ，，， 三点共线. . 又 ， 变式 ［2025·重庆杨家坪中学高二期中］如图， 在四面体中，,分别为, 的重 心，为上一点，且.设 , , . （1）请用{,,}表示 ； 解： . （2）求证：,, 三点共线. 证明： ， 则，所以，， 三点共线. 变式 ［2025·重庆杨家坪中学高二期中］如图， 在四面体中，,分别为, 的重 心，为上一点，且.设 , , . ［素养小结］ 对于空间中的三点
,
,
,可通过证明下列结论来证明三点共线： （1）存在实数
,使
成立. （2）对空间任一点
,有
. （3）对空间任一点
，有
. 探究点二 空间向量的共面问题 例2（1）已知,,三点不共线，是平面 外任意一点,若 ，则,,, 四点共面的充要条件是( ) A. B. C. D. [解析] 若,,,四点共面，则,解得,故,,, 四点共面的充要条件是 .故选B. √ （2）［2025·北京朝阳区北京工业大学附中高二月考］如图，在四 棱锥中， ... ...
