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课件网) 1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.5 空间中的距离 探究点一 空间中两点之间的距离 探究点二 点到直线的距离 探究点三 点到平面的距离 探究点四 线面距离与面面距离 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.掌握向量长度的计算公式; 2.会用空间向量的方法求两点间的距离、点到平面的距离、直线与平 面之间的距离和面与面之间的距离. 知识点一 空间中两点之间的距离 空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的_____，可借助向量 构造三角形利用三角形法则求向量的模或建立空间直角坐标系求解. 线段长 知识点二 点到直线的距离 给定空间中一条直线及外一点，过 可以 作直线 的一条_____，这条垂线段的____ 称为点到直线 的距离，点到直线的距离也 是这个点与直线上点的_____连线的长度. 垂线段 长 最短 例如，如图所示，点是直线外一点，若是直线 的垂线段，则 的长度就是点到直线的距离，这一距离也等于 . 直线外一点到直线的距离 . 知识点三 点到平面的距离 给定空间中一个平面 及 外一点，过 可以 作平面 的一条_____，这条垂线段的____ 称为点到平面 的距离，点到平面的距离也 是这个点与平面内点的_____连线的长度. 垂线段 长 最短 如图，为平面 外一点，是平面 内一点，是平面 的一个法 向量，则点到平面 的距离 . 知识点四 相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面 之间的距离 （1）当直线与平面平行时，直线上_____称为这 条直线与这个平面之间的距离.如果直线与平面 平行，是平面 的一个法向量，，分别是上和 内的点，则直线与平面 之间 的距离 . 任意一点到平面的距离 （2）当平面与平面平行时，一个平面内任意一点_____ _____称为这两个平行平面之间的距离. 如果平面 与平面 平行，是平面 的一个法向量，和 分别是 平面 和平面 内的点，则平面 和平面 之间的距离为 _ _____. 到另一个平面的距离 （3）与两个平行平面同时_____的直线，称为这两个平面的_____ ___，_____夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的_____ ___，_____的长即为两个平行平面之间的距离. 垂直 公垂线 公垂线 公垂线段 公垂线段 （4）直线与平面之间的距离和平面与平面之间的距离都可以归结成 点到平面的距离. 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）平面 外一点到平面 的距离就是点与平面内一点 所成向 量 的长度.( ) × （2）若直线平面 ，则直线到平面 的距离就是直线 上的点 到平面 的距离.( ) √ （3）若平面平面 ，则两平面 ， 的距离可转化为平面 内 某条直线到平面 的距离，也可转化为平面 内某点到平面 的距 离.( ) √ 探究点一 空间中两点之间的距离 例1 如图所示，在 的二面角 中， ， 且，，垂足分别为， ，已知 ，试求线段 的长. 解：，，，， 二面角 的平面角为 ，， ， ， . 变式 如图所示，正方形，的边长都是1，平面 平面，点在线段上移动，点在线段 上移动，若 . （1）求的长（用 表示）. 解：因为平面 平面， ，所以 平面，则，故,, 两两垂直， 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，且四边形， 为正方形，所以， ，所以 ，所以 . （2）为何值时， 的长最小？ 解：由（1）知，所以当时， 的长最小， 最小值为 . 变式 如图所示，正方形，的边长都是1，平面 平面，点在线段上移动，点在线段 上移动， 若 . ［素养小结］ 计算两点间的距离的两种方法： （1）利用
，通过向量运算求
，如求
，
两点间的距 离，一般用
求解. （2）用坐标法求向量的长度（或两点间距离），当求解的图形适宜 建立空间直角坐 ... ...
