15.1 课时1 二次根式的概念（19张ppt） 2025-2026学年冀教版数学八年级上册

15.1 课时1 二次根式的概念 第十五章 二次根式 1.了解二次根式的概念； 2.能根据二次根式的意义确定被开方数中字母的取值范围； 3.掌握二次根式的双重非负性及其应用. 学校要修建一个占地面积为???? ????2的圆形喷水池，它的半径应为多少米？如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为????????2 的环形绿化带，那么所成的大圆的半径应为多少米？ ? 1. (1) 2，18，815，310的算术平方根是怎样表示的? (2) 非负数????，????＋????，????2－1的算术平方根又是怎样表示的? ? 活动1. 求出下列具体的数和字母的算术平方根. 探究一：二次根式的概念. (1)2，18，815 ，310； (2)????，????＋????，????2－1. ? 学校要修建一个占地面积为???? ????2的圆形喷水池，它的半径应为多少米？如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为????????2 的环形绿化带，那么所成的大圆的半径应为多少米？ ? 解：（1）设喷水池的半径为???? ????. 所以????=????????； （2）设喷大圆的半径为???? ????. 所以????=????+????????. ? 活动2. 将导入中的情境问题用数学符号表示. 思考1：观察下列式子，说说它们有什么共同特征？ 1.根指数为2； 2.被开方数为非负数. 2，18，815 ，310 ，????，????＋????，????2－1，????????，????+???????? ? 思考2：如果我们将上述式子定义为二次根式，同学们类比整式、分式，说说二次根式的定义？ 被开方数????≥0 ? 根指数为2 （省略不写） 二次根式：形如????(????≥0)的式子. ? ???? ? 解：(1)∵364根指数是3，∴364不是二次根式； (2)不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴????2+1是二次根式； (3)当－5????≥0，即????≤0时，?5????是二次根式；当????＞0时，－5????＜0，则?5????不是二次根式．∴?5????不一定是二次根式． ? 1.判断下列各式是否为二次根式，并说明理由． (1)364；(2)????2+1； (3)?5????； (4)????+1(????≥0); (5)1(????+3)2；(6)?(?????4)2 ? (4)????+1(????≥0)只能称为含有二次根式的代数式，不能称为二次根式； (5)当x＝－3时，1(????+3)2无意义，∴1(????+3)2也无意义；当x≠－3时，1(????+3)2>0， ∴ 1(????+3)2是二次根式．∴1(????+3)2不一定是二次根式． ? 1.判断下列各式是否为二次根式，并说明理由． (1)364；(2)????2+1； (3)?5????； (4)????+1(????≥0); (5)1(????+3)2；(6)?(?????4)2 ? (6)当????＝4，即????－4＝0时，?(?????4)2是二次根式； 当????≠4时，－(????－4)2＜0，∴?(?????4)2不是二次根式． ∴?(?????4)2不一定是二次根式． ? 1.判断下列各式是否为二次根式，并说明理由． (1)364；(2)????2+1； (3)?5????； (4)????+1(????≥0); (5)1(????+3)2；(6)?(?????4)2 ? 概念解析： (1)二次根式的定义是从代数式的形式上界定的，必须含有二次 根号“”； (2)被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的代数式， 但是a必须大于或等于0； (3)在具体问题中，已知二次根式????，就有了????≥0这一隐含条件； (4)形如????????(????≥0)的式子也是二次根式．????与????是相乘的关系， 若b为带分数，则要写成假分数的形式． ? 易错提示： (1)二次根式是从形式上定义的，不能从化简结果上判断， 如：9是二次根式． (2)像????+1(????≥0)这样的式子只能称为含有二次根式的式子， 不能称为二次根式． ? 活动1. 分析下列小亮和小颖的观点，并对此谈谈你的看法. 探究二：二次根式的“双重”非负性. 1.小亮和小颖对二次根式“????(????≥0)”分别有如下的观点. ? 小亮的观点 　　因为????表示的是非负数????的算术平方根，所以，根据算术平方根的意义，有????≥0. ? 小颖的观点 　　因为????表示的是非负数a的算术平方根，所以，根据算术平方根和被开方数的关系，有(????)2=????. ? ... ...