5.4　第3课时　正弦函数、余弦函数的性质——单调性与最值（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）必修 第一册

第3课时　正弦函数、余弦函数的性质———单调性与最值 学习 目标 1. 掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求函数的值域和最值． 2. 掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性并能利用单调性比较大小，会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的单调区间． 新知初探基础落实 请同学阅读课本P204—P207，完成下列填空． 一、 概念表述 1. 正弦、余弦函数的图象和性质 正弦函数 余弦函数 图象 值域 _ _ _ _ 单调 性 增区间 _ _ _ _ 减区间 _ _ _ _ 最值 ymax＝1 x＝＋2kπ，k∈Z _ _ ymin＝－1 _ _ _ _ 二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．) (1) 正弦函数y＝sin x在R上是增函数．(　 　) (2) 余弦函数y＝cos x的一个单调递减区间是[0，π].(　 　) (3) x∈[0，π]，满足sin x＝2.(　 　) (4) 当余弦函数y＝cos x取最大值时，x＝2kπ＋π，k∈Z.(　 　) 典例精讲能力初成 探究1　正、余弦函数的单调区间 例1　求下列函数的单调递增区间： (1) y＝1－sin ； (2) y＝sin ； (3) y＝cos 2x. 在求形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝A sin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间的方法同上． 变式　(1) 函数f(x)＝1－sin 的一个单调递增区间是(　 　) A. 　 B. C. 　 D. (2) 已知函数f(x)＝cos ，x∈，则函数f(x)的单调递减区间为 ． 探究2　正、余弦函数的最值(值域)问题 例2　(课本P205例3)下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值． (1) y＝cos x＋1，x∈R； (2) y＝－3sin 2x，x∈R. 三角函数值域(最值)问题的求解方法：(1) y＝a sin x(或y＝a cos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．(2) y＝A sin (ωx＋φ)＋b(或y＝A cos (ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin (ωx＋φ)(或cos (ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值).(3) y＝a sin2x＋b sinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定． 变式　求下列函数的值域： (1) y＝cos ，x∈； (2) y＝cos2x－4cosx＋5. 探究3　利用正、余弦函数的单调性比较大小 例3　(课本P206例4)不通过求值，比较下列各组数的大小： (1) sin 与sin ； (2) cos 与cos . 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小． 变式　cos ，sin ，sin 的大小关系是 ． 随堂内化及时评价 1. 函数y＝sin 2x的单调递减区间是(　 　) A. (k∈Z) B. (k∈Z) C. [π＋2kπ，3π＋2kπ](k∈Z) D. (k∈Z) 2. 函数y＝sin2x－3cosx＋2的最大值为(　 　) A. 5　 B. C. －1　 D. 1 3. 设a＝cos ，b＝sin ，c＝cos ，则(　 　) A. a>c>b　 B. c>b>a C. c>a>b　 D. b>c>a 4. 函数f(x)＝3sin 的一个单调递增区间是(　 　) A. 　 B. C. 　 D. 5. (课本P207例5)求函数y＝sin ，x∈[－2π，2π]的单调递增区间． 配套新练案 一、 单项选择题 1. 下列函数中，周期为π，且在上单调递减的是(　 　) A. y＝sin 　 B. y＝cos C. y＝sin 　 D. y＝cos 2. 函数y＝sin2x－sinx＋1(x∈R)的值域是(　 　) A. 　 B. [1，2] C. [1，3]　 D. 3. 函数f(x)＝sin 在区间上的最小值是(　 　) A. －1　 B. － C. 　 D. 0 4. 已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)－1的图象关于点对称，且与直线y＝1的两个交点的横坐标分别为x1，x2，且|x1－x2| ... ...