第4课时 简单的三角恒等变换———半角公式、积化和差与和差化积 学习 目标 1. 能用二倍角公式导出半角公式，能用两角和与差公式导出积化和差与和差化积公式． 2. 能利用半角公式、积化和差与和差化积公式对三角函数式进行化简、求值以及三角恒等式的证明． 新知初探基础落实 请同学阅读课本P225—P226，完成下列填空． 1. 半角公式： sin ＝ ，cos ＝ ，tan ＝ ＝ ＝ ． 注意：符号由所在象限决定． 2. 积化和差 (1) sin αcos β＝ ； (2) cos αsin β＝ ； (3) cos αcos β＝ ； (4) sin αsin β＝－ ． 3. 和差化积 (1) sin θ＋sin φ＝ ； (2) sin θ－sin φ＝ ； (3) cos θ＋cos φ＝ ； (4) cos θ－cos φ＝ ． 典例精讲能力初成 探究1 半角公式的应用 例1 若tan α＝，且α为第一象限角，则sin ＝( ) A. B. ± C. D. － 利用半角公式求值的思路：(1) 看角：看已知角与待求角的2倍关系．(2) 明范围：求出相应半角的范围，为定符号作准备．(3) 选公式：涉及半角的正、余弦值时，常利用半角公式计算． 变式 已知sin α＝－，π<α<，求sin ，cos ，tan 的值． 探究2 积化和差与和差化积公式的应用 例2 sin220°＋cos280°＋sin20°cos 80°的值是( ) A. B. C. D. 1 在运用积化和差公式时，如果形式为混合函数积时，化得的结果应为sin (α＋β)与sin (α－β)的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应为cos (α＋β)与cos (α－β)的和或差． 变式 求下列各式的值． (1) sin 37.5°cos 7.5°； (2) sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°； (3) sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80°； (4) sin 69°－sin 3°＋sin 39°－sin 33°. 新视角 万能公式 例3-1 (多选)下列有关三角函数的公式中，正确的有( ) A. sin2＝ B. cos2＝ C. tan ＝ D. sin ＝cos 5α 例3-2 设tan ＝t，求证：sin α＝，cos α＝，tan α＝. 万能公式：(1) sin α＝；(2)cos α＝；(3)tan α＝，即sinα，cos α，tan α均可以用tan 表示，故称其为万能公式． 变式 (1) 已知tan (π＋α)＝3，则cos 的值为( ) A. B. C. D. (2)函数f(x)＝的最小正周期为 ． 随堂内化及时评价 1. 计算：cos 15°sin 105°＝( ) A. ＋ B. － C. ＋1 D. －1 2. 已知cos α＝，270°<α<360°，那么cos 的值为( ) A. B. － C. D. － 3. 若cos x cos y＋sin x sin y＝，sin 2x＋sin 2y＝，则sin (x＋y)＝( ) A. B. － C. D. － 4. 若tan α＝2，π<α<，则cos ＝( ) A. － B. C. － D. 5. 若tan ＝，则sin ＝ ． 配套新练案 一、 单项选择题 1. 已知180°<α<360°，则cos 等于( ) A. － B. C. － D. 2. 已知cos α＝，α∈，则sin 等于( ) A. － B. C. D. － 3. 函数f(x)＝的最小正周期是( ) A. B. C. π D. 2π 4. 若α＋β＝，则cos2α＋cos2β的取值范围是( ) A． B. C. D. [0，1] 二、 多项选择题 5. 下列说法正确的是( ) A. x∈R，sin x＝，且tan x＝ B. x∈R，2sin x＝2cos x＝tan x C. x∈R，cos2x＝ D. x∈，＋＝2sin 6. 给出下列关系式，其中正确的是( ) A. sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ B. cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ C. sin 3θ－sin 5θ＝－cos 4θcos θ D. sin θsin α＝[cos (θ－α)－cos (θ＋α)] 三、 填空题 7. 若＝，则sin α＋cos α＝ ． 8. 计算：sin2＋sin2－sin2α＝ ． 四、解答题 9. 设常数a∈R，函数f(x)＝a sin 2x＋2cos2x. (1)若f(x)为偶函数，求a的值； (2) 若f＝2，求方程f(x)＝1＋在区间上的解． 10. (1) 已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，求的值； (2) 已 ... ...
