第2单元 一元二次函数、方程与不等式（基础篇） 基础知识讲解 一．不等式定理 【基础知识】 ①对任意的a，b，有a＞b a﹣b＞0；a＝b a﹣b＝0；a＜b a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据． ②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a． ③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c． 推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d． ④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc． 二．不等式大小比较 【技巧方法】 不等式大小比较的常用方法 （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商（常用于分数指数幂的代数式）； （3）分析法； （4）平方法； （5）分子（或分母）有理化； （6）利用函数的单调性； （7）寻找中间量或放缩法； （8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法． 三．基本不等式 【基础知识】 基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域． 四、基本不等式的应用 【基础知识】 1、求最值 2、利用基本不等式证明不等式 3、基本不等式与恒成立问题 4、均值定理在比较大小中的应用 【技巧方法】 技巧一：凑项 需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值． 技巧二：凑系数 遇到无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值． 技巧三：分离 技巧四：换元 一般，令t＝x+1，化简原式在分离求最值． 技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性． 技巧六：整体代换 多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错． 技巧七：取平方 两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造条件． 总结我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式． 五．二次函数的性质 【基础知识】 二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0） 【技巧方法】 ①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝；最值为：f（）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点． ②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝， x1 x2＝； ③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离． ④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c； 六．一元二次不等式 【基础知识】 含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式． 【技巧方法】 （1） 当△＝b2﹣4ac＞0时， 一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2） （2） 当△＝b2﹣4ac＝0时， 一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2． （3） 当△＝b2﹣4ac＜0时． 一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点． 二.不等式的解法 （1）整式不等式的解法（根轴法）． 步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解． 特例： ①一元一次不等式ax＞b解的讨论； ②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论． （2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，． （3）无理不等式：转化为有理不等式 ... ...
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