5.1.1 平均变化率 第5章 1.理解函数平均变化率的概念． 2.会求函数的平均变化率． 3.会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题． 某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示： 问题1：从A到B的位移是多少？从B到C的位移是多少？ 问题2：从A到B这一段与从B到C这一段，你感觉哪一段的位移变化得较快？ 14.8 15.1 AB段位移增加得平缓，BC段位移则是陡然增加． 虽然点A，B之间的位移差与点B，C之间的位移差几乎相同，但它们的平均变化率却相差很大． 位移在区间[1，32]上的平均变化率为： 位移在区间[32，34]上的平均变化率为： 18.6?3.532?1=15.131≈0.5(m/s) ? 33.4?18.634?3.2=14.82=7.4(m/s) ? 函数????(????)在区间[????1，????2]上的平均变化率为????(????2)?????(????1)????2?????1. ? 注意：不能脱离区间而言 曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”． 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”， 问题:在平均变化率中， Δx， Δy， Δ????Δ????是否可以等于0？当平均变化率等于0时，是否说明函数在该区间上一定为常数？ ? 分析：Δx可以为正数,也可以为负数，但Δx不可以为0，Δy可以为0. 当平均变化率Δ????Δ????等于0时，并不说明函数在该区间上一定为常数. 例如函数f(x)=x2在区间[-2,2]的平均变化率是0，但它不是常数函数. ? 例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率． 解：从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为 6.5?3.53?0=1(kg/月) ， 从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为 11?8.612?6=0.4(kg/月) . ? 如何解释从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为1(kg/月)？ 当婴儿从出生长到第3个月时，婴儿的体重随月份每增加1月，体重增加1kg. 例2 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的体积V(t)＝5e-0.1t(单位：cm3)，试计算第一个10s内V的平均变化率． 解：在第一个10s内，体积V的平均变化率为 ????(10)?????(0)10?0=5×2?1?5×2010?0=?0.25(cm3/s). ? 问题1：例2中的平均变化率的实际意义是什么？ 问题2：负号表示容器甲中的水在减少，但是否表示10秒内每一时刻容器甲中水的体积减少的速度呢？ 在第一个10s内，容器甲中水的体积随时间每增加1s，体积减小0.25cm3. 不是 例2 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的体积V(t)＝5e-0.1t(单位：cm3)，试计算第一个10s内V的平均变化率． 解：在第一个10s内，体积V的平均变化率为 ????(10)?????(0)10?0=5×2?1?5×2010?0=?0.25(cm3/s). ? 问题3：第一个10s内乙容器中水的体积平均变化率为多少？ 体积平均变化率为0.25cm3/s 归纳总结 用数学归纳法证明恒等式时应关注以下三点： (1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况； (2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加或减少了哪些项； (3)证明n=k+1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n=k+1证明目标的表达式变形. 例3 已知函数f(x)＝x2，分别计算函数f(x)在下列区间上的平均变化率： (1)[1，3]； (2)[1，2]； (3)[1，1.1]； (4)[1，1.001]. 解：(1)函数f(x)在[1，3]上的平均变化率为????(3)?????(1)3?1=32?122=4. (2)函数f(x)在[1，2]上的平均变化率为????(2)?????(1)2?1=22?121=3. (3)函数f(x)在[1，1.1]上的平均变化率为????(1.1)?????(1)1.1?1=1.12?120.1=2.1. (4)函数f(x)在[1，1.001]上的平均变化率为????(1.001)?????(1)1.001?1=1.0012?120.001=2.001. ? 当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 逐渐变小并接近于2. 例3 已知函数f(x)＝x2，分别计算函数f(x)在下列区间上的平均变化率： (1)[1，3]； (2)[1，2]； (3)[1，1.1]； (4)[1，1.001]. 函 ... ...
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