3.1　第3课时　椭圆的简单几何性质（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）择性必修 第一册

第3课时　椭圆的简单几何性质(1) 学习 目标 1．掌握椭圆的简单几何性质，如长轴、短轴、离心率、焦点和顶点坐标． 2．能根据几何条件求出椭圆的方程，能利用椭圆的方程研究椭圆的性质并画出图形． 新知初探基础落实 一、 概念表述 1．椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) x，y的 取值范围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)， A2(a，0)， B1(0，－b)， B2(0，b) A1(0，－a)， A2(0，a)， B1(－b，0)， B2(b，0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点 2．椭圆的离心率：椭圆的焦距与长轴长之比，即e＝ e＝(0＜e＜1)． 当e越接近1时，c越接近a，椭圆越扁；当e越接近0时，c越接近0，椭圆越接近圆；当且仅当a＝b时，图形为圆，方程为x2＋y2＝a2． 二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长是a．(　×　) (2) 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10，8，则椭圆的方程为＋＝1．(　×　) (3) 设F为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，M为椭圆上任意一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距)．(　√　) 典例精讲能力初成 探究1　椭圆的简单几何性质 例1　(教材P112例4补充)已知焦点在x轴上的椭圆的方程为＋＝1，点P(，1)在椭圆上． (1) 求m的值； 【解答】　由题意知点P(，1)在椭圆上，将点P的坐标代入椭圆的方程得＋＝1，解得m＝2． (2) 依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率． 【解答】　由(1)知椭圆的方程为＋＝1，则a＝2，b＝，c＝，所以椭圆的长轴长为2a＝4，短轴长为2b＝2，焦距为2c＝2，离心率为e＝＝． 研究椭圆的几何性质时，一般先将所给椭圆方程化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪条坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和椭圆的定义． 探究2　椭圆几何性质的简单应用 例2　求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1) 与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为； 【解答】　因为c＝＝，所以所求椭圆的焦点坐标为(－，0)，(，0)．设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．因为e＝＝，c＝，所以a＝5，b2＝a2－c2＝20，从而所求椭圆的标准方程为＋＝1． (2) 焦距为8，两个顶点的坐标分别是(－6，0)，(6，0)，焦点在x轴上； 【解答】　因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．因为2c＝8，所以c＝4．又a＝6，所以b2＝a2－c2＝20，从而椭圆的标准方程为＋＝1． (3) 对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6． 【解答】　设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c．由题意可知解得因为不确定焦点所在的坐标轴，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1． (1) 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常利用待定系数法． (2) 根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，其一般步骤如下：①确定焦点所在的坐标轴；②求出a2，b2的值；③写出椭圆的标准方程． 探究3　椭圆的离心率 例3　设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则椭圆C的离心率为． 【解析】　 方法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝． 方法二：由PF2⊥F1F2可知点P的横坐标为c，将x＝c代入椭圆的方程可得y＝±，所以|PF2|＝．又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，且b2＝a2－c2，所以(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)． 求椭圆的离心率及离心率取值范围的两种方法 (1) 直接法：若a，c是已知的，可直接利用e＝求解．若a，b或b ... ...