3.3　第2课时　抛物线的简单几何性质（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）择性必修 第一册

第2课时　抛物线的简单几何性质(1) 学习 目标 1．会根据抛物线的标准方程研究抛物线的对称性、顶点、准线方程等几何性质． 2．会利用抛物线的性质解决一些简单的问题． 新知初探基础落实 一、 概念表述 1．抛物线的几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 开口 方向 向右 向左 向上 向下 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0，0) 离心率 e＝1 2．设抛物线上一点P的坐标为(x0，y0)，焦点为F． (1) 对于抛物线y2＝2px(p＞0)，|PF|＝＝x0＋． (2) 对于抛物线y2＝－2px(p＞0)，|PF|＝＝－x0＋． (3) 对于抛物线x2＝2py(p＞0)，|PF|＝＝y0＋． (4) 对于抛物线x2＝－2py(p＞0)，|PF|＝＝－y0＋． 二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 抛物线没有渐近线．(　√　) (2) 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为p．(　×　) (3) 抛物线y2＝2px(p＞0)的图象上任意一点的横坐标的取值范围是[0，＋∞)．(　√　) (4) 抛物线y＝3x2的准线方程是y＝－．(　×　) 典例精讲能力初成 探究1　由抛物线的方程得到抛物线的几何性质 例1　已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M到抛物线的准线及对称轴的距离分别为3和2，则p的值为(　B　) A．2 B．2或4 C．1或2 D．1 【解析】　设M(xM，yM)．因为抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M到抛物线的准线及对称轴的距离分别为3和2，所以即因为点M在抛物线上，所以8＝2p，整理得p2－6p＋8＝0，解得p＝2或p＝4． 在求解有关抛物线的几何性质的问题时，常常先要将抛物线的方程化成标准方程，画出抛物线的草图，这样能够避免发生不必要的错误． 变式1　已知点(1，2)在抛物线C：y＝ax2上，则抛物线C的准线方程为(　D　) A．x＝－ B．y＝－ C．x＝－ D．y＝－ 【解析】　因为点(1，2)在抛物线C：y＝ax2上，所以2＝a×12，即a＝2，从而抛物线C的标准方程为x2＝y，故抛物线C的准线方程为y＝－． 探究2　由抛物线的几何性质得抛物线的方程 例2　已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求实数m的值及抛物线的方程和准线方程． 【解答】　方法一：由题意知抛物线的开口向下，可设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，则焦点为F．因为点M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，所以解得从而抛物线的方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2． 方法二：由题意设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，则焦点为F，准线l：y＝．如图，过点M作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5．又|MN|＝3＋，所以3＋＝5，解得p＝4．又因为点M在抛物线上，所以m2＝24，解得m＝±2，从而抛物线的方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2． (例2答) 抛物线的性质：(1) 抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准线，无对称中心．(2) 抛物线的焦点在对称轴上，准线垂直于对称轴，焦点到准线的距离为p． 探究3　抛物线的几何性质的应用 例3　已知抛物线y2＝8x． (1) 求该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线方程、对称轴及变量x的取值范围； 【解答】　抛物线y2＝8x的顶点坐标、焦点坐标、准线方程、对称轴、变量x的取值范围分别为(0，0)，(2，0)，x＝－2，x轴，[0，＋∞)． (2) 以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长． 【解答】　如图，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，设垂足为M．又焦点F是△OAB的重心，所以|OF|＝|OM|．因为|OF|＝2，所以|OM|＝|OF|＝3，从而点M(3，0)．设A(3，m)，则m2＝24，解得m＝2或m＝－2，所以A(3，2)，B(3，－2)，从而|OA|＝|OB|＝，于是△OAB的周长为2＋4． (例3答) 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质： (1) 开口：由抛物线的标准方程看图 ... ...