章复习 能力整合与素养提升 要点梳理系统整合 圆锥曲线的定义、方程与性质 定义 标准方程 几何性质 范围 顶点 焦点 对称性 离心率 椭 圆 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a(大于|F1F2|＝2c)的点的轨迹叫做椭圆 注：b2＝a2－c2，a＞b |x|≤a， |y|≤b (±a，0)， (0，±b) (±c，0) 关于 x轴、 y轴、 坐标 原点 对称 椭圆中a＞c， 0＜e＜1 ↑ e＝ ↓ 双曲线中 a＜c， e＞1 |y|≤a， |x|≤b (0，±a)， (±b，0) (0，±c) 双 曲 线 平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a(小于|F1F2|＝2c)的点的轨迹叫做双曲线 注：b2＝c2－a2 |x|≥a， y∈R (±a，0) (±c，0) |y|≥a， x∈R (0，±a) (0，±c) 渐近线方程为y＝±x或－＝0， 共渐近线－＝0的双曲线系方程为 双曲线焦点三角形的面积：S△PF1F2＝，θ＝∠F1PF2 (椭圆焦点三角形的面积：S△PF1F2＝b2·tan，θ＝∠F1PF2) 等轴双曲线：双曲线x2－y2＝±a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x(渐近线互相垂直)，离心率e＝ 抛 物 线 平面内到一个定点F和一条定直线l(定点F不在定直线l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 注：焦点到准线的距离等于p，p＞0 x≥0， y∈R 关于 x轴 对称 e＝1 x≤0， y∈R y≥0， x∈R (0,0) 关于 y轴 对称 y≤0， x∈R 弦 长 焦半径(以焦点在x轴上为例)： 椭圆：|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0； 双曲线：|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0； 抛物线：|PF|＝x0＋ 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的弦，则|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直线AB的倾斜角) 过焦点垂直于对称轴的弦长： 椭圆(双曲线)：； 抛物线：2|p| 弦长|AB|＝·|x2－x1|＝＝ ＝ 考法聚焦素养养成 考法1 圆锥曲线的几何性质 例1 (多选)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为12，焦距为20，左、右焦点分别为F1，F2，那么下列结论正确的是( ) A．双曲线C的离心率为 B．双曲线C的渐近线方程为y＝±x C．点F2到一条渐近线的距离是8 D．过点F2的最短弦长为 【题组训练】 1．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上，点B(3，0)．若|AF|＝|BF|，则|AB|等于( ) A．2 B．2 C．3 D．3 2．已知F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，A为双曲线C的右顶点，B为双曲线C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则双曲线C的离心率为 ． (多选)已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)，下列结论正确的是( ) A．若a＝2b，则椭圆M的离心率为 B．若椭圆M的离心率为，则＝ C．若F1，F2分别为椭圆M的左、右焦点，直线l过点F1且与椭圆M交于A，B两点，则△ABF2的周长为4a D．若A1，A2分别为椭圆M的左、右顶点，P为椭圆M上异于点A1，A2的任意一点，则直线PA1，PA2的斜率之积为－ 考法2 直线与圆锥曲线 例2 (2024·新高考Ⅰ卷)已知A(0，3)和P为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上两点． (1) 求椭圆C的离心率； (2) 若过点P的直线l交椭圆C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程． 【题组训练】 1．已知双曲线C：2x2－y2＝2与点P(1，2)． (1) 判断是否存在过点P的弦AB，使得AB的中点为P； (2) 若上述线段AB的垂直平分线与双曲线交于C，D两点，求证：A，B，C，D四点共圆． 2．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为，过点P(1，0)作直线交椭圆E于C，D两点(与点A，B均不重合)．当点D与椭圆E的上顶点重合时，|AD|＝． (1) 求椭圆E的方程； (2) 设直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值． 配套新练案 一、 单项选择题 1．(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在椭圆C上，若·＝0，则|PF1|·|PF2|等于( ) A．1 B．2 C．4 D．5 2．已知双曲线C：－＝1(b＞0)的焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为( ) A． B． C． D． 3．(2023·新高考Ⅱ卷 ... ...
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