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课件网) 4.4.1 方程的根与函数的零点 学习目标 1.结合学过的函数图象,了解函数零点的定义,并会求简单函数的零点. 2.了解函数的零点与方程解的关系,能借助函数图象判断零点个数. 3.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理. 我们已经知道，一元二次方程的根就是二次函数的零点，也就是该函数图像与轴交点的横坐标. 复习回顾 那一般函数的零点是什么呢？ 对于一般函数，我们把使的实数叫作函数的零点. 新课学习 方程、函数、图象之间的关系： 函数的零点不是一个点 求方程的实数根→确定函数的零点．对于不能用公式法求根的方程，我们可以将它与函数联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根. 新课学习 探究 怎么求函数的零点呢？ 一是代数法,令,通过求方程的解求得函数的零点 二是几何法,画出函数的图象,图象与轴交点的横坐标即为函数的零点. 新课学习 设函数的图像是一条连续不断的曲线，如果在区间的左端处曲线在轴的上方，而在轴的上方，而在处，曲线在轴的下方，则可以断定曲线一定会和轴在内的某个点处相交. 新课学习 零点存在性定理 一般地，当逐渐增加时,如果连续有变化且,则存在点使得. 如果知道在区间[]内单调递增或单调递减，就进一步断定,方程在内恰有一个根.即在内有唯一零点 思考 （1）满足什么条件时在内有唯一零点？ （2）函数零点存在定理的逆命题是否成立？ 思考 新课学习 函数零点存在定理不可逆 x b a 由可以推出函数在区间内存在零点，但是在区间内存在零点，不一定能推出，如左图. 一般地，当逐渐增加时,如果连续有变化且,则存在点使得. 例题解析 例1 讨论函数 解：由于，， 且单调递增， 因此，函数在区间内零点的个数为1. 单调函数 函数零点存在定理 (1)解方程f(x)=0,方程f(x)=0的不相等实数解的个数就是函数f(x)零点的个数. (2)直接作出函数f(x)的图象,图象与x轴公共点的个数就是函数f(x)零点的个数. (3)f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,则两个图象公共点的个数就是函数y=f(x)零点的个数. (4)若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,再证明该函数在定义域内单调. 方法提炼 判断函数零点个数的常用方法 运用函数的思想方法来求方程的解可以给我们带来很大的便利.例如,方程=(x)的解就可以看作两个函数 和的图象的公共点的横坐标,或函数的零点.从这个角度出发,我们可以从图象来观察方程解的个数和分布情况. 新课学习 例2 讨论方程的解的个数与分布情况. 例题解析 方法1：方程的解是函数的零点 方法2：可以将所求方程的解看成是两函数和 的图象的公共点的横坐标 解：考察函数，其零点就是方程的解. 计算得 == -0.50， == 0.750， 可见在内有零点. 例题解析 另一方面，由于单调递增而也单调递增(因为单调递减)，因此 单调递增，所以在内恰有一个零点. 由图可看出，函数与的图象只在区间内有一个交点，所以原方程有且只有一个解，且此解在区间上. 例题解析 例3 讨论三次方程的解的个数与分布情况. 解:记函数,通过计算得0, 可知函数在 区间和内各至少有一个零点. 用计算机软件可作出函数图象,如图. 从图上可以看出在区间内各有一个零点. 例题解析 由于在上为负,在上为正,故在与上没有零点.所以函数在R上只有三个零点. 因此，原方程有三个解，且分别位于区间(-1 ,0)，(0，1)和(2 ，3)上. 课堂总结 1、方程、函数、图象之间的关系： 2、零点存在性定理 当逐渐增加时,如果连续有变化且,则存在点使得. 本节课你学到了哪些知识？ 1、判断正误： （1）函数的零点是一个点. ( ) （2）任何函数都有零点 ( ) （3）函数的零点是O(0,0). ( ) （4）若函数,则 ... ...
