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课件网) 1.4.1 第一章 <<< 充分条件与必要条件 1.复习引入： 一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的， 的 叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。 陈述句 能判断真假 复习引入： 中学数学许多命题可以写成 等形式。 其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论。 若p，则q 如果p，那么q 定义概念 "若p，则q"为真命题，是指由p通过推理可以得出q, 记作 p q , 且 称 p是q的充分条件，q是p的必要条件 金沙中学 理解概念 （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； 真命题 “平行四边形的对角线互相垂直”是“这个平行四边形是菱形”的充分条件，“这个平行四边形是菱形”是“平行四边形的对角线互相垂直”的必要条件。 理解概念 （4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b. 真命题 “平面内两条直线a和b均垂直于直线l”是“a//b”的充分条件，“a//b”是“平面内两条直线a和b均垂直于直线l”的 必要条件 理解概念 "若p，则q"为真命题，是指由p通过推理可以得出q, 记作 p q , 且 称 p是q的充分条件，q是p的必要条件 若p成立，则q一定成立； 若q不成立，则p 一定不成立； q成立是p成立必不可少的条件，称为必要条件 例如:若a=1，则a>0 例1 下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件 （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形 （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直 （4）若x2=1，则x=1 （5）若a=b，则ac=bc （6）若x，y为无理数，则xy为无理数 √ √ √ √ × × (1)(2)(3)(5)中， ，p是q的充分条件 对于(4)(6)， ，p不是q的充分条件 p是q的充分条件 若p则q是真命题 若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形 若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形 若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形 若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形 这些条件充分保证了这个四边形是平行四边形 判定定理 充分条件 例2 下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件 （1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等 （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形 （4）若x=1，则x2=1 （5）若ac=bc，则a=b （6）若xy为无理数，则x，y为无理数 √ √ √ × × × q是p的必要条件 若p则q是真命题 若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等 若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等 若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分 若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等 这些结论都是以四边形是平行四边形为条件得到的，是得出这些结论必不可少的条件 性质定理 必要条件 (1)p q,有方向,条件在前,结论在后. (2)若p q,则p是q的充分条件或q是p的必要条件,或q的充分条件是p或p的必要条件是q. (3)充分、必要条件不唯一. <<< 充分、必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件,主要判断若p成立时,能否推出q成立,反过来,若q成立时,能否推出p成立. (2)也可利用集合的关系判断,如果条件甲“x∈A”,条件乙“x∈B”.若A B,则甲是乙的必要条件. 反 思 感 悟 下列“若p,则q”形式的命题中,分析p与q的关系. (1)p:α为锐角,q:α=45°; 跟踪训练 1 由于q p,p q,故p是q的必要条件,q是p的充分条件. (2)p:x+1=0,q:(x+1)(x-2)=0. 由于p q,q p,故p是q的充分条件,q是p的必要条件. 二 充分条件与必要条件的应用 已知集合P={x|-2
