【精品解析】《相似三角形》精选压轴题—2025年浙江省九（上）数学期中复习

《相似三角形》精选压轴题—2025年浙江省九（上）数学期中复习 一、单选题 1．（2024九上·宁波期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD为∠BAC的角平分线，交BC于点D．过点D作交AC于点E，点P在EC上，且∠EDP＝∠EDA，若EP＝1，PC＝4，则BD的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：过点A作交DE延长线于点N，DP延长线于点M，如下图： ∵ ∴， 又∵ ∴ 又∵ ∴为等腰三角形， ∴ ∵平分， ∴ ∴，即 设，则， ∵ ∴，， ∴，， ∴，可得 解得，即， 由题意可得：， 由勾股定理可得， 由可得，解得， 即 故答案为：A 【分析】过点A作交DE延长线于点N，DP延长线于点M，可得为等腰三角形，，从而得到，由题意可得，再由可得，，可得，，即，设，，得到，解得，即，由勾股定理可得，再由可得，即可求解. 2．（2024九上·浙江期中）如图，在由6块直角三角形拼成的矩形中，①②③④四个三角形全等，点分别是三角形②，①的直角顶点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理；矩形的性质；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：设，，则， ∵①②③④四个三角形全等，点分别是三角形②，①的直角顶点， ∴①②③④四个三角形是直角三角形，是直角三角形，，， ∴，， ∵是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【分析】 设，，则，由全等三角形的性质可得，由勾股定理可得，，再由矩形的性质结合同角的余角相等可证明，由相似比可得即可． 3．（2024九上·余杭月考）如图，E，F，G，H分别是矩形四条边上的点，连接相交于点I，且，，矩形矩形，连接交于点P，Q，下列一定能求出面积的条件是（　　） A．矩形和矩形的面积之差 B．矩形与矩形的面积之差 C．矩形和矩形的面积之差 D．矩形和矩形的面积之差 【答案】A 【知识点】相似多边形；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【解答】解：设， ， ∴， ∴， ∴， ， ， 故选A． 【分析】先证明，再列出比例式，分别用表示，利用割补法表示，即可求解． 4．（2024九上·江北期中）如图、点分别是正方形边上的点，且．连接并延长，交的延长线于点M，设，则( ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；求正切值；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：∵， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ 设 ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得： ∵， ∴， ∴， ∴， 取，则 ∴， ∴， ∴． 故答案为：D． 【分析】先利用证明，再利用全等三角形的性质得到，设，再利用正方形的性质证明，然后列出比例式，从而求出，再利用，证得与的关系式，再求出DG与DF的比． 二、填空题 5．（2024九上·宁波期中）如图，点C是以AB为直径的半圆上的三等分点（BC＜AC），点E为AC上一动点，（不与点A、C重合），过点B作BF⊥AB与EC的延长线交于点F，过点B作BG⊥OC于点G，交EC于点H，若OG＝2，H为CE的三等分点，EH的长为　 　． 【答案】或 【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：根据H为CE的三等分点，当H为靠近E点的三等分点时，如下图： 设，则， ∵C是半圆的三等分点 ∴ 又∵ ∴为等边三角形， ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴，即，解得 ∴； 当H为靠近C点的三等分点时，如下图： 设，则， ∵C是半圆的三等分点 ∴ 又∵ ∴为等边三角形， ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴，即，解得 ∴； 故答案为：或 【分析】根据H为CE的三等分点，分两种情况进行讨论，当H为靠近E点 ... ...