第2课时 等比数列的性质及实际应用 【学习目标】 体会等比数列与指数函数的关系. ◆ 知识点一 等比中项 如果在a与b之间插入一个数G,使得a,G,b成等比数列,那么根据等比数列的定义,=,G2=ab,G=±.我们称G为a,b的 . 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)任意两个非零常数a,b都有等比中项. ( ) (2)“G2=ab”是“a,G,b成等比数列”的充要条件.( ) ◆ 知识点二 等比数列的性质 1.等比数列任意两项间的关系:在等比数列{an}中,an= . 2.在等比数列{an}中,若m+n=p+s(m,n,p,s∈N*),则 .特别地,若m+n=2p,则 . 3.(1)在公比为q的等比数列{an}中,am,am+k,am+2k,…,am+(n-1)k,…仍成等比数列,公比为 ; (2)若数列{an}是公比为q的等比数列,则数列{kan}(k≠0)也是等比数列,公比为 ; (3)若数列{an}是公比为q的等比数列,则数列{}也是等比数列,公比为 ; (4)若数列{an},{bn}是项数相同的等比数列,则{an·bn}是 数列,是 数列. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若数列{an}是等比数列,则是等比数列. ( ) (2)若数列{an}是公比为q的等比数列,则{an·an+1}仍是等比数列,且公比为2q. ( ) (3)已知等比数列{an},取其奇数项组成一个新数列,则此数列是等比数列. ( ) (4)若数列{an}是等比数列,则{an+an+1}一定是等比数列. ( ) (5)若{an}为等比数列,且m+n=p(m,n,p∈N*),则am·an=ap. ( ) ◆ 探究点一 等比中项 例1 在等比数列{an}中,若a2,a4的等比中项为1,a6,a8的等比中项为4,则a5= ( ) A.-2 B.2 C.±2 D.± 变式 在等差数列{an}中,a4=9,且a2,a4,a10构成等比数列,则{an}的公差d等于 . [素养小结] (1)由等比中项的定义可知= G2=ab G=±,所以只有当a,b同号时,a,b的等比中项有两个,当a,b异号时,a,b没有等比中项. (2)在一个等比数列中,从第二项起,每一项(有穷等比数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项. (3)a,G,b成等比数列等价于G2=ab(ab>0). ◆ 探究点二 等比数列的性质 例2 (1)[2024·湖南郴州高二期末] 已知等比数列{an}中,a2,a3是方程x2-6x+8=0的两根,求a1a2a3a4的值. (2)在等比数列{an}中,an>0,若a3·a5=4,求a1a2a3a4a5a6a7. 变式 已知等比数列{an}的各项均为正数,且a3a7=81,则log3a1+log3a5+log3a9= ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 [素养小结] (1)应用等比数列的性质可以简化运算,当性质不能应用时,可以通过基本量法求解. (2)等比数列中的设元技巧:当三个数成等比数列时,可设为,a,aq;当四个数成公比为正数的等比数列时,可设为,,aq,aq3. 拓展 在各项均为正数的等比数列{an}中,a1a5+2a4a6+a5a9=8,则a3+a7= ( ) A.1 B. C.4 D.2 ◆ 探究点三 等比数列的实际应用 例3 某人买了一辆价值为13.5万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值. (1)用一个式子表示第n(n∈N*)年这辆车的价值; (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车,他大概能得到多少钱 (0.94≈0.66,结果保留一位小数) 变式 (1)在我国古代春节期间,“剪窗花,贴对联”几乎是每家每户都会进行的迎新活动,而窗花(俗称剪纸)蕴含着辞旧迎新、接福纳祥的美好寓意.如图是一幅剪纸作品.一位艺术家把一张厚度为0.012 5 cm的纸对折了三次,开始了该作品的创作,若不计纸与纸之间的间隙,则对折后的半成品的厚度是 mm. (2)某养猪场2021年年初猪的存栏数(饲养头数)为1500,预计以后每年存栏数的增长率为8%,且在每年年底卖出100头,则2036年年初猪的存栏数约为(参考数据:1.0814≈2.9,1.0815≈3.2,1.0816≈3.4)( ) A.2050 B.2150 C.2250 D.2350 [素养小结] 解决等比数列实际应用问题的关键是:建立数学模型,即将实际问题转化成等比数 ... ...
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