第一章 专项突破练二 分组求和、倒序相加求和、并项求和（课件 学案 练习）高中数学 北师大版（2019）选择性必修 第二册

专项突破练二　分组求和、倒序相加求和、并项求和 题型一 例1　1123　[解析] 因为a1=a2=1,an+2= 所以数列{a2n}是首项为1,公比为2的等比数列,数列{a2n-1}是首项为1,公差为2的等差数列,所以数列{an}的前20项和为+10×1+×2=1123. 变式　解:(1)设等比数列{an}的公比为q,由题意可知q>1. 因为4a3与3a5的等差中项为4a4,a3与a7的等比中项为16,所以所以 解得或(舍去),所以an=a1qn-1=2n-1. (2)bn=log2an+1=log22n=n,所以Sn=(1+21+22+…+2n-1)+(1+2+3+…+n)=+=2n-1+. 题型二 例2　　[解析] 函数f(x)=,当x>0时,f(x)+f=+=+=1.因为数列{an}是各项均为正数的等比数列,且a10=1,所以a1a19=a2a18=a3a17=…==1,所以f(a1)+f(a19)=f(a1)+f=1,同理f(a2)+f(a18)=f(a3)+f(a17)=…=f(a10)+f(a10)=1.令S=f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a18)+f(a19),又S=f(a19)+f(a18)+f(a17)+…+f(a2)+f(a1),所以2S=19,则S=,所以f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a18)+f(a19)=. 变式　A　[解析] f(x)+f(y)=ln x+ln y=ln(xy)=2,∴xy=e2. 由Sn=ln xn+ln(xn-1y)+…+ln(xyn-1)+ln yn, 得Sn=ln yn+ln(xyn-1)+…+ln(xn-1y)+ln xn,两式相加, 得2Sn=(n+1)ln(xnyn)=(n+1)nln(xy)=2n(n+1),∴Sn=n(n+1). 故选A. 题型三 例3　解:当n为奇数时,Sn=(-1+3)+(-5+7)+…+[(-2n+5)+(2n-3)]+(-2n+1)=2·+(-2n+1)=-n;当n为偶数时,Sn=(-1+3)+(-5+7)+…+[(-2n+3)+(2n-1)]=2·=n. ∴Sn=(-1)n·n (n∈N*). 变式　C　[解析] S2023=a1+(a2+a3+a4)+…+(a2021+a2022+a2023)=+++…+==675.故选C.专项突破练二　分组求和、倒序相加求和、并项求和 1.B　[解析] 由题意知a1+a2+a3+a4=40,an+an-1+an-2+an-3=80,两式相加得a1+an=30.又因为数列{an}的所有项的和Sn===210,所以n=14.故选B. 2.D　[解析] 由题意知,数列{an}的前4项构成首项为1,公比为2的等比数列,数列{an}从第5项起的数依次构成一个新数列,新数列的首项为a5=2a4=16,公差为-2,所以S20=(1+2+4+8)+[16+14+…+(16-15×2)]=15+=31.故选D. 3.C　[解析] ∵a1=2,an+an+1+an+2=2,∴S2023=a1+(a2+a3+a4)+(a5+a6+a7)+…+(a2021+a2022+a2023)=2+674×2=1350,故选C. 4.D　[解析] 由题意知an=n2cos nπ+(n+1)2cos[(n+1)π], 所以当n为奇数时,an=-n2+(n+1)2=2n+1, 当n为偶数时,an=n2-(n+1)2=-(2n+1), 所以S2n=3-5+7-9+…+(4n-1)-(4n+1)=(3-5)+(7-9)+…+[(4n-1)-(4n+1)]=n×(-2)=-2n.故选D. 5.A　[解析] ∵f(1-x)=1-x+3sin+,∴f(x)+f(1-x)=2.∵an+a2023-n=+=1,∴f(an)+f(a2023-n)=2.令S=f(a1)+f(a2)+…+f(a2022),则S=f(a2022)+f(a2021)+…+f(a1),两式相加得2S=2×2022,∴S=2022.故选A. 6.A　[解析] a1+a2+a3+…+a2n+1=-12+22-32+42-52+…+(2n)2-(2n+1)2=-1+(22-32)+(42-52)+…+[(2n)2-(2n+1)2]=-1-(2+3)-(4+5)-…-(2n+2n+1)=-[1+2+3+4+5+…+2n+(2n+1)]=-=-(n+1)(2n+1),故选A. 7.ACD　[解析] a1=1,a1+a2=2,则a2=1,又a2+a3=4,∴a3=3, 又a3+a4=23,∴a4=5,故A正确; =1,=3,则{an}不是等比数列,故B错误; a1+a2+…+a2023=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2022+a2023)=1++…+22022=1+==,故C正确; a1+a2+…+a2022=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2021+a2022)=+…+22021===,故D正确.故选ACD. 8.BCD　[解析] 当n=2k(k∈N*)时,由已知条件可得a2k+a2k+1=2k·(-1)k(2k+1),所以S2023=a1+a2+a3+…+a2023=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2022+a2023)=a1-2+4-6+8-…-2022=a1+2×505-2022=a1-1012,则S2023-a1=-1012,所以m+S2023=m+a1-1012=-1011,则m+a1=1,A错误,B,C正确.a1=1-m,ma1=m(1-m)=-m2+m.令y=-m2+m,易知该函数图象的对称轴为直线m=,开口向下,所以ymax=-+=,所以ma1的最大值为,D正确.故选BCD. 9.an=n+1　[解析] an=f(0)+f+f+…+f+f(1),an=f(1)+f+…+f+f+f(0),两式相加可得2an=[f(0)+f(1)]++…++[f(1)+f(0)]=2(n+1),所以a ... ...