第二章 导数及其应用 §1 平均变化率与瞬时变化率 1.1 平均变化率 1.2 瞬时变化率 【课前预习】 知识点一 1. 2. 改变量 Δx 改变量 Δy = 诊断分析 1.(1)× (2)√ 2.解:因为Δh=5(1+Δt)2-5=10Δt+5(Δt)2,所以平均速度==10+5Δt. 知识点二 1.== 2.瞬时变化率 诊断分析 1.(1)√ (2)× 2.解:因为Δh=5(1+Δt)2-5=10Δt+5(Δt)2,所以平均速度==10+5Δt.当Δt趋于0时,趋于10,所以物体在t=1时的瞬时速度为10. 【课中探究】 探究点一 例1 (1)B (2)B [解析] (1)平均速度===4.1,故选B. (2)因为f(x)=x2+x,所以f(-1)=(-1)2-1=0,f(3)=32+3=12,则函数f(x)在[-1,3]上的平均变化率为===3,故选B. 变式 (1)A (2)2 [解析] (1)m1==2,m2==2,所以m1=m2.故选A. (2)设y=f(x),由题得===m+1=3,所以m=2. 拓展 BC [解析] 由函数图象可得,在区间[4,7]上,<0,即函数在区间[4,7]上的平均变化率小于0;在区间[1,2],[2,3],[3,4]上,>0,即平均变化率都大于0,且在区间[3,4]上的平均变化率最大.故选BC. 探究点二 例2 解:设y=f(t),则从2 s到(2+Δt)s这段时间内水量y的平均变化率为====Δt+11(m3/s), 当Δt无限趋近于0时,无限趋近于11 m3/s. 同理可得从6 s到(6+Δt)s这段时间内水量y的平均变化率为=Δt+19(m3/s),当Δt无限趋近于0时,无限趋近于19 m3/s. 故当t=2 s与t=6 s时,流过的水量y的瞬时变化率分别为11 m3/s与19 m3/s. 变式 (1)C [解析] 由平均速度的概念知表示的是物体在1 s到(1+Δt)s这一段时间内的平均速度,因为当Δt无限趋于0时,无限趋于9.8 m/s,所以9.8 m/s表示物体在t=1 s这一时刻的瞬时速度.故选C. (2)解:①前2秒点P转过的角度为φ(2)=4×2-0.3×22=8-1.2=6.8(弧度). ②在2秒到(2+Δt)秒这一时间段内点P的平均角速度为===4-1.2-0.3Δt=2.8-0.3Δt(弧度/秒), 则当Δt=1时,平均角速度为2.8-0.3×1=2.5(弧度/秒); 当Δt=0.1时,平均角速度为2.8-0.3×0.1=2.77(弧度/秒); 当Δt=0.01时,平均角速度为2.8-0.3×0.01=2.797(弧度/秒). ③由②知,在2秒到(2+Δt)秒这一时间段内点P的平均角速度为=2.8-0.3Δt(弧度/秒),当Δt趋于0时,趋于2.8弧度/秒,则t=2秒这一时刻点P的瞬时角速度为2.8弧度/秒. 拓展 0 [解析] 设y=f(x),由题意可知原油温度的平均变化率为===x2-2x+Δx·x+(Δx)2-Δx(℃/时).当Δx趋于0时,趋于x2-2x,可得x2-2x=(x-1)2-1(2≤x≤4),因此当x=2时,原油温度的瞬时变化率取得最小值0.第二章 导数及其应用 §1 平均变化率与瞬时变化率 1.1 平均变化率 1.2 瞬时变化率 【学习目标】 1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程. 2.体会极限思想. ◆ 知识点一 平均速度与平均变化率 1.平均速度:用一段时间内物体的平均速度刻画物体运动的快慢,当时间从t0变为t1时,物体的位移从s(t0)变为s(t1),这段时间内物体的平均速度= . 2.平均变化率:对一般的函数y=f(x)来说,当自变量x从x1变为x2时,函数值从f(x1)变为f(x2),它在区间[x1,x2]的平均变化率= . 通常我们把自变量的变化x2-x1称作自变量x的 ,记作 ,函数值的变化f(x2)-f(x1)称作函数值y的 ,记作 .这样,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比,即 .用它来刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢. 【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)某物体在一段时间内的平均速度为0,则该物体在这段时间内是静止的. ( ) (2)平均变化率越大,说明物体在同一时间段内运动越快. ( ) 2.物体的位移h与时间t的函数关系是h=5t2,试求物体在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度. ◆ 知识点二 瞬时变化率 1.瞬时变化率:对于一般的函数y=f(x),在自变量x从x0变为x1的过程中,若设Δx=x1-x0, ... ...
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