第二章 4.2 导数的乘法与除法法则（课件 学案 练习）高中数学 北师大版（2019）选择性必修 第二册

4.2　导数的乘法与除法法则 【课前预习】 知识点 (1)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)　kf'(x) (2) 诊断分析 (1)×　(2)× 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)y'=(excos x)'=(ex)'cos x+ex(cos x)'=ex(cos x-sin x). (2)y'='==. (3)y'=(2x2-1)'(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)'=4x(3x+1)+3(2x2-1)=18x2+4x-3. (4)y'===. 变式　(1)B　(2)　[解析] (1)易知f'(x)=sin x+xcos x,则f'=sin-cos=-1,f'(0)=0,f'=sin +cos =1,f'(π)=sin π+πcos π=-π,故选B. (2)f'(x)='==. 拓展　A　[解析] 由题意得f'(x)==,由f'(2)==0,得a=±2,因为a>0,所以a=2.故选A. 探究点二 例2　(1)2　(2)A　[解析] (1)∵f'(x)=x(x-2)(x-3)+(x-1)[x(x-2)(x-3)]',∴f'(1)=1×(-1)×(-2)=2. (2)由题意得f'(x)=ln x+1+2f'(1)x,所以f'(1)=1+2f'(1),解得f'(1)=-1.故选A. 变式　3　[解析] 由题意得f(1)=g(1)+1-1=1,解得g(1)=1.由f(x)=x·g(x)+x2-1,得f'(x)=g(x)+x·g'(x)+2x,则f'(1)=g(1)+g'(1)+2,所以f'(1)-g'(1)=3. 探究点三 例3　解:(1)因为函数f(x)=exln x+3x, 所以f'(x)=exln x+ex·+3=ex+3. (2)由(1)知,f'(1)=e+3,又f(1)=3,所以函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是y-3=(e+3)(x-1),即y=(e+3)x-e. 变式　(1)-4　(2)y=2x+1　[解析] (1)由题可得y'=aex+(ax+3)ex=(ax+3+a)ex,∵当x=0时,y'=a+3=-1,∴a=-4. (2)由题意可得点不在曲线y=2xln x+3上,设切点坐标为(x0,y0),因为y'=2ln x+2,所以所求切线的斜率k=2ln x0+2==,所以y0=2x0ln x0+2x0+ln x0+1.因为点(x0,y0)是切点,所以y0=2x0ln x0+3,所以2x0ln x0+2x0+ln x0+1=2x0ln x0+3,即2x0+ln x0-2=0.设f(x)=2x+ln x-2,显然f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,所以方程2x0+ln x0-2=0有唯一解x0=1,则所求切线的斜率k=2,所以所求切线方程为y=2,即y=2x+1.4.2　导数的乘法与除法法则 1.B　[解析] 因为f(x)=xsin x,所以f'(x)=sin x+xcos x,因此f'=1.故选B. 2.B　[解析] 选项A中,f'(x)='=-,故A不符合题意;选项B中,f'(x)='=,故B符合题意;选项C中,f'(x)=(-2x-3)'=6x-4,故C不符合题意;选项D中,f'(x)='=x-4,故D不符合题意.故选B. 3.A　[解析] 由f(x)=xln x-3x,得f'(x)=ln x-2,则f'(e)=-1,而f(e)=-2e,所以曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y+2e=-1×(x-e),即x+y+e=0.故选A. 4.B　[解析] 由题得f'(x)=2023+ln x+1=2024+ln x,∵f'(x0)=2024,∴2024+ln x0=2024,解得x0=1.故选B. 5.A　[解析] 令g(x)=(x+1)(x+2)…(x+n),则f(x)=xg(x),求导得f'(x)=x'g(x)+xg'(x)=g(x)+xg'(x),所以f'(0)=g(0)+0×g'(0)=g(0)=1×2×3×…×n=n!,故选A. 6.B　[解析] 因为y=,所以y'=.设切点为,所以当x=x0时,y'= ,此时切线方程为y-=(x-x0).又切线过原点,所以-=(-x0),解得x0=,所以切线方程的斜率k===.故选B. 7.BD　[解析] 对于A选项,'=-,故错误;对于B选项,(ln 2+log2x)'=,故正确;对于C选项,(x2ex)'=2xex+x2ex=(x2+2x)ex,故错误;对于D选项,(3xcos x)'=3xln 3·cos x-3xsin x=3x(ln 3·cos x-sin x),故正确.故选BD. 8.BC　[解析] 对于A,由f(x)=sin x-cos x,得f'(x)=cos x+sin x,所以f″(x)=-sin x+cos x=cos,取x=,则f″=cos =0,不满足凸函数的定义,故A不符合题意; 对于B,由f(x)=ln x-2x,得f'(x)=-2,所以f″(x)=-,当x∈时,f″(x)<0恒成立,满足凸函数的定义,故B符合题意;对于C,由f(x)=-x3+2x-1,得f'(x)=-3x2+2,所以f″(x)=-6x,当x∈时,f″(x)=-6x<0恒成立,满足凸函数的定义,故C符合题意;对于D,由f(x)=-,得f'(x)=,所以f″(x)=,当x∈时,2-x>0,ex>0,所以f″(x)>0在上恒成立,不满足凸函数的定义,故D不符合题意.故选BC. 9.　[解析] 因为y=,所以y'=. 10.　[解析] 由f(x)=(x2+2x),得f'(x)=(2x+2)+(x2+2x)·,所以f'(1)=4+=. 11.　[解析] 因为f(x)=,所以f'(x)=,所以f'(a)=.由题意可得f'( ... ...