第二章 第10节　函数模型及其应用 专题练习（含解析）2026届高三数学一轮复习

第10节　函数模型及其应用 基础练 1.(2020·全国Ⅰ卷)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图: 由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　) A.y=a+bx B.y=a+bx2 C.y=a+bex D.y=a+bln x 【答案】 D 【解析】 散点图中点的分布形状与对数函数的图象类似.故选D. 2.一般地,声音大小用声强级LI(单位:dB)表示,其计算公式为LI=10lg (),其中I为声强,单位为W/m2,若某种物体发出的声强为5-10W/m2,则其声强级约为(lg 2≈0.30)(　　 ) A.50 dB B.55 dB C.60 dB D.70 dB 【答案】 A 【解析】 由已知得LI=10lg ()=10×(12-10lg 5)=10×(12-10lg )=10×(2+10lg 2)≈ 10×(2+10×0.30)=50(dB).故选A. 3.(2024·北京卷)生物丰富度指数 d=是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则(　　) A.3N2=2N1 B. 2N2=3N1 C.= D.= 【答案】 D 【解析】 由题意得=2.1,=3.15,则2.1ln N1=3.15ln N2,即2ln N1=3ln N2,所以=.故选D. 4.(2025·广东韶关模拟)某工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位:m2)的计算公式是W=(长+4)×(宽+4),在不测量长和宽的情况下,若只知道这块矩形场地的面积是 10 000 m2,每平方米工程量收费1元,请估算平整完这块场地所需的最少费用是(　　) A.10 000元 B.10 480元 C.10 816元 D.10 818元 【答案】 C 【解析】 设矩形场地的长为x m,则宽为m,W=(x+4)(+4)=4x++10 016≥ 2+10 016=10 816,当且仅当4x=,即x=100时,等号成立,所以平整完这块场地所需的最少费用为1×10 816=10 816(元).故选C. 5.(2025·浙江杭州模拟)某外来入侵植物生长迅速,繁殖能力强,大量繁殖会排挤本地植物,容易形成单一优势种群,导致原有植物种群的衰退甚至消失,使当地生态系统的物种多样性下降,从而破坏生态平衡.假如不加控制,它的总数量每经过一年就增长一倍,则该外来入侵植物由入侵的1株变成100万株大约需要(参考数据:lg 2≈0.301)(　　) A.40年 B.30年 C.20年 D.10年 【答案】 C 【解析】 设该外来入侵植物由入侵的1株变成100万株大约需要x年,由题意知,1×2x= 1 000 000,即2x=106,所以x=log2106=6log210=≈≈20,即由入侵的1株变成100万株大约需要20年.故选C. 6.薯条作为一种油炸食品,风味是决定其接受程度的基础.某餐厅大厨对餐饮门店的不同油炸批次的薯条进行整体品质的感官评价并提出了“油炸质量曲线”(图(1)),将油炸过程划分为五个阶段:初始、新鲜、最佳、降解和废弃阶段,以解释食物品质与油炸时间之间的 关系. 在特定条件下,薯条品质得分p与煎炸时间t(单位:min)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),图(2)记录了三次实验的数据,根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳煎炸时间为(　　) A.2.25 min B.2.75 min C.3.25 min D.3.75 min 【答案】 C 【解析】 由题图(2)知解得a=-20,b=130,c=-130, 所以p=-20t2+130t-130, 所以当t=-=3.25时,p取得最大值.故选C. 7.如图所示,学校要建造一面靠墙(墙足够长)的2个面积相同的矩形花圃,如果可供建造围墙的材料总长是60 m,要所建造的每个花圃的面积最大,则宽x应为　　　　m. 【答案】 10 【解析】 设每个花圃的面积为y,则y=x·=-x2+30x=-(x-10)2+150(0