四川省内江市威远中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）

威远中学2026届高三上期期中考试 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷 （选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合，则（ ） A． B． C． D． 2．设，则（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 3．已知，则等于（ ） A． B． C． D． 4．函数的最小正周期和最大值分别为（ ） A．，2 B．，2 C．， D．， 5．已知向量，若，则（ ） A． B． C． D． 6．若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知，，，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 8．定义在R上的奇函数，满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，有多个选项，共18分） 9．下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（ ） A．样本的标准差 B．样本的中位数 C．样本的极差 D．样本的平均数 10．已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A． B． C． D． 11．若，且，则（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 （非选择题 共92分） 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填在答题卡相应位置上. 12．已知 的二项展开式中的第 4 项为常数项，则 . 13．已知为数列的前项和，若，则 ． 14．已知实数a，b，，设，，这三个数的最大值为，则的最小值为 . 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求和的值； (2)求的值． 16．（15分）已知函数，． (1)证明：直线与曲线，均相切； (2)从下面①②两个函数中任选一个，记为，使得有最大值，并求的最大值． ①； ②． 17．（15分）已知函数为数列的前项和. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 18．（17分）已知函数． (1)求在上的最值； (2)求的单调递减区间； (3)若，对成立，求a的取值范围． 19．（17分）在数字通信中，信号是由0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为和（）；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为和（）．假设发送信号0和1是等可能的． (1)若，现发送信号3次，记其中接收为正确信号的次数为，求的数学期望和方差； (2)随机变量的分布列为，记事件（）发生后给我们的信息量为，则称（）为的信息熵．设发送信号1次，接收为正确信号的次数为，求的信息熵的最大值； (3)若，发送信号次，设为出现0的总次数，为第次出现1的次数（0或1次），记表示发送信号次，0恰好出现次且第次出现1的次数为的概率，如时，．对于随机变量，记其合并熵为，且．证明：当时，． 威远中学校2026届高三上期期中考试 数学试题参考答案 . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C A C B C C D AC AC BC 4.C.．，所以该函数的最小正周期为，最大值为 5．B因为，所以，所以.所以. 6．．C因为函数在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以，即的取值范围为. 7．C【详解】，即. 8．D【详解】令且定义域为R，则，所以为偶函数，在上，所以在上单调递减，结合偶函数的对称性知，其在上单调递增，由，则，且，则，由的零点个数等价于与的交点个数，图象如下，其中，且函数关于对称，在、上分别单调递减、单调递增，显然时，在上单调递增，则时恒成立，在上单调递减，且，所以使，综上，与交点横坐标有，即有3个零点. AC【详解】A：，，所以，，故，正确；B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；C：由题意得：，，正确；D：由题意得：，，故一般来说故错误； 11．BC【详解】令，∵，∴在单调递减．由，∴ ... ...