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课件网) 4.4 幂函数 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 ◆ 课堂评价 ◆ 备课素材 【学习目标】 1.掌握幂函数的概念、图象和性质; 2.熟悉,2,3,, 时的五类幂函数的图象、性质及其特点; 3.能利用幂函数的图象与性质解决综合问题. 知识点一 幂函数的概念 一般地，函数_____称为幂函数，其中 为常数. 注意：幂函数的系数为1. 知识点二 幂函数的图象与性质 1.幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，幂函数,,,, 的图象如图 所示. 2.幂函数的性质 （1）所有的幂函数在区间_____上都有定义,因此在第一象限内都有图象， 并且图象都通过点_____. （2）如果,那么幂函数的图象通过原点,并且在区间 上是_____ __.当时，幂函数的图象在区间 上的增长情况是_____； 当时，幂函数的图象在区间 上的增长情况是_____. 增函数 先快后慢 先慢后快 （3）如果,那么幂函数在区间 上是_____,且在第一象限内：当 从右边趋向于原点时,图象在轴右方且无限地逼近___轴；当 无限增大时,图象 在 轴上方且无限逼近___轴. 减函数 3.幂函数之间的关系 当时，若，则 ； 当时，若，则 . 【诊断分析】 1.当时，若函数的图象在函数的图象的上方，则与 的大 小关系是_____. 或 2.幂函数的图象能经过第四象限吗？为什么？ 解:幂函数的图象不能经过第四象限，因为当时，（其中 ）. 探究点一 幂函数的概念 例1（1） 已知幂函数的图象经过点，则 ( ) A A.3 B. C.9 D. [解析] 设 ，因为函数的图象经过点，所以 ，解得 ，所以 ，所以 ，故选A. （2）（多选题）[2024·哈尔滨高一期末]下列函数中是幂函数的是( ) BCD A. B. C. D. [解析] 根据幂函数的定义知B，C，D中的函数均是幂函数，A中的函数 为指数函数，故选 . （3）已知函数，则当分别为何值时， 是： ①正比例函数；②反比例函数；③二次函数；④幂函数？ 解：①若为正比例函数，则解得 . ②若为反比例函数，则解得 . ③若为二次函数，则解得 . ④若为幂函数，则，所以 . 变式（1） [2024·四川宜宾高一期末] 已知幂函数 为偶函数，则实数 的值为___. 1 [解析] 因为为幂函数，所以 ，解 得或，又为偶函数，所以 . （2）若幂函数的图象经过点，则 _____. [解析] 设幂函数 ，因为的图象经过点，所以 ， 解得，则 ［素养小结］ 判断函数是幂函数的依据： （1）指数为常数;（2）底数为自变量;（3）系数为1. 探究点二 幂函数的图象 例2（1） 如图所示，，，为幂函数 在第一 象限内的图象，则解析式中的指数 依次可以取( ) C A.，， B.，， C.，， D.，， [解析] 由幂函数的图象特征可知，C选项正确. （2）下列关于函数 与 的图象正确的是( ) C A. B. C. D. [解析] 函数 是幂函数，而 是一次函数. 选项A中，直线对应的函数为，曲线对应的函数为； 选项B中，直线对应的函数为 ，曲线对应的函数为； 选项C中，直线对应的函数为 ，曲线对应的函数为； 选项D中，直线对应的函数为，曲线对应的函数为 .故选项C正确. 变式（1） [2024·北京海淀区高一期末]在同一直角坐标系中，函数 ,, 的部分图象可能是( ) C A. B. C. D. [解析] 函数,的单调性一定相反，且, 的图象均 不过原点，故排除A，D； 在B，C选项中，过原点的图象为幂函数 的图象，由的图象可 知，所以单调递减， 单调递增，故排除B.故选C. （2）已知幂函数的图象关于 轴对称，如图 所示，则( ) D A.为奇数，且 B.为奇数，且 C.为偶数，且 D.为偶数，且 [解析] 因为函数的图象关于 轴对称，所以函数 为偶函数，即为偶数，又函数的定义域为 ，且在 上单调递减，所以，即 .故选D. ［素养小结］ 解决幂函数的图象问题需把握两个原则: （1）依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：在 上，指数越大，幂 函数的图象越靠近 ... ...
