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课件网) 11.3.3 平面与平面平行 第2课时 平面与平面平行的性质定理 探究点一 面面平行的性质定理的应用 探究点二 平行关系的综合应用 【学习目标】 1.掌握空间平面与平面平行的性质定理,并能利用这个定理解决 空间中的平行关系问题； 2.利用平面与平面平行的性质定理证明空间平行问题； 3.借助平面平行的判定与性质进行各种平行关系的转化，培养直 观想象素养和逻辑推理素养． 知识点 两个平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法 如果两个_____平面同时 与第三个平面相交,那么它 们的交线_____ _____ _____ 平行 平行 线线平行 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面平行. ( ) √ [解析] 正确. （2）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线相互 平行.( ) × [解析] 错误.因为两个平面平行，所以分别在这两个平面内的两条直 线无公共点，它们平行或异面. （3）若两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平 面.( ) √ [解析] 正确.因为两个平面平行，所以这两个平面无公共点， 所以其中一个平面内的直线必和另一个平面无公共点， 即一个平面内的直线必平行于另一个平面. 2.夹在两个平面间的三条线段平行且相等，试讨论这两个平面的位置 关系. 解：画出满足条件的图形，如图所示， 易知这两个平面的位置关系为平行或相交. 探究点一 面面平行的性质定理的应用 例1 [2023·温州苍南金乡卫城中学高一月考] 如图，在四棱柱 中，底面为梯形，，平面 与 交于点.求证： . 证明：因为， 平面， 平面，所以平面. 因为 ， 平面， 平面， 所以 平面， 又 平面， 平面，， 所以平面平面 ， 又平面 平面，平面 平面， 所以 . 变式 如图，正方形为圆柱的轴截面，是圆柱上异于 , 的母线，,分别是, 的中点. （1）证明：平面 ； 证明：连接，根据圆柱的性质可得 且，所以四边形 为平行四边形. 因为为的中点，所以为的中点， 又 为的中点，所以 . 因为 平面， 平面 ， 所以平面 . （2）设平面与圆所在平面的交线为 ，证 明：平面 . 解：根据圆柱的性质可得，圆平面 ， 又平面 圆， 平面 平面，所以， 因为 平面 ， 平面， 所以平面 . ［素养小结］ 应用平面与平面平行的性质定理的基本步骤 拓展 如图，已知平面平面平面 ，且 位于 与 之间，点, ，, ， ，， . （1）求证： ； 证明： ，平面 ， 平面，， . 同理，， . （2）设与不平行，且，，，为定点， 与 间的距离 为， 与 间的距离为，当的值是多少时， 的面积最大？ 解：由（1）知， ， 同理， . 故 . 由题意知，与异面，只有 在 ， 间变换位置，，是常量，是 与 所成角的正弦值， 也是常量. ， 当且仅当时等号成立，此时 最大， 当，即 到 ， 两平面的距离 相等时， 的面积最大. 探究点二 平行关系的综合应用 ［探索］ 三种平行关系之间的相互转化关系是怎样的 解：三种平行关系可以任意转化,其相互转化关系如图所示. 例2 如图，在正方体中，点在上，点在 上，且.求证：平面 . 证明：如图，作交于点，连接 ， ， . ， ， ， ， ， ， 又， . 平面， 平面 ， 平面 . ， 平面， 平面 ， 平面 ， 又 平面， 平面 ， ， 平面平面 ， 又 平面，平面 . 变式 在如图所示的五面体中，四边形 为平行四边 形，平面，，为的中点,求证： 平面 . 证明：取的中点，连接, . 因为,分别为,的中点，所以 . 又 平面， 平面 ， 所以平面 . 因为平面， 平面， 平面 平面，所以 . 又，，所以， ， 所以四边形为平行四边形，所以 . 又 平面， 平面 ， 所以平面 . 因为，所以平面平面 . 因为 平面，所以平面 . ［素养小 ... ...
