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课件网) 11.4.2 平面与平面垂直 第1课时 二面角、平面与平面垂直的判定定理 探究点一 求二面角的大小 探究点二 证明面面垂直 【学习目标】 1.了解二面角、面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理； 2.灵活运用线面、面面垂直的判定定理解决空间中的位置关系问题； 3.通过平面与平面垂直的判定、二面角求解等问题，提升数学运算素 养、逻辑推理素养和直观想象素养． 知识点一 二面角 1.定义：从一条直线出发的两个_____所组成的图形称为二面角， 这条直线称为二面角的____，这两个半平面称为二面角的____. 半平面 棱 面 2.图形表示：如图所示. 3.记法：以为棱， 和 为半平面的二面角，通常记作二面角 _____.如果和分别是半平面 和 内的点，那么这个二面 角也可记作_____. 4.二面角的平面角：在二面角 的棱上任 取一点，以为垂足，分别在半平面 和 内 作垂直于棱的射线和，则射线和 所 5.二面角的平面角 的取值范围：_____.平面角是直角的 二面角称为直二面角. 6.平面与平面所成的角：一般地，两个平面相交时，它们所成角的大 小，指的是它们所形成的4个二面角中，_____的角的大小. 不大于 成的角称为二面角的平面角.如图，， ， ， ，,二面角 的平面角是_____. 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）二面角是从一条直线出发的两个半平面所夹的角度.( ) × （2）二面角是两个平面相交时，两个平面所夹的锐角.( ) × （3）二面角的平面角是过棱上一点和棱垂直的两射线所成的角.( ) × （4）二面角的平面角的大小与角的顶点在棱上的位置有关.( ) × （5）在二面角 的棱上任取一点,且, ， ，则是二面角 的平面角.( ) × [解析] “”不符合二面角 的平面角的定义, 应该为“, ”. 2.在两个半平面内分别向棱作垂线,两条直线所成的角是否为二面角 的平面角 与二面角的平面角的大小有什么关系 解：这两条直线所成的角不一定为二面角的平面角,它与二面角的平 面角的大小相等或互补. 知识点二 平面与平面垂直 1.定义：一般地，如果两个平面 与 所成角的大小为 ，则称 这两个平面互相垂直，记作 . 2.画法：如图所示. 3.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面经过另外一个平面的一条_____,则 这两个平面互相垂直 图形语言 _____ 符号语言 垂线 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）如果平面 内有一条直线垂直于平面 内的一条直线，那么 .( ) × （2）如果平面 内有一条直线垂直于平面 内的两条直线，那么 .( ) × （3）如果平面 内的一条直线垂直于平面 内的两条相交直线， 那么 .( ) √ 2.过平面 的一条垂线可作多少个平面与平面 垂直？过平面 的 一条斜线，可作多少个平面与平面 垂直？过平面 的一条平行线 可作多少个平面与平面 垂直？ 解：根据平面与平面垂直的定义与判定定理易知过平面 的一条垂线 可作无数个平面与平面 垂直； 过平面 的一条斜线可作一个平面与平面 垂直； 过平面 的一条平行线可作一个平面与平面 垂直. 探究点一 求二面角的大小 例1 如图，四棱锥的底面是正方形， 平面 . （1）求二面角 的大小； 解： 平面，， , 即为二面角 的平面角. 由题意知， ， 二面角的大小为 . （2）求二面角 的大小. 解： 平面，， ， 即为二面角 的平面角. 四边形为正方形， ， 二面角的大小为 . 变式 如图，是的直径，垂直于所在的平面， 是圆周 上的一点，且，求二面角 的大小． 解： 平面， 平面 ， ， 是的直径，且点 在圆周上， ， ，， 平面 ， 平面 ， 又 平面， ， 即为二面角 的平面角． ， 是等腰直角三角形， ， 二面角 的大小为 . ［素养小结］ 求二面角的平面角的大小的 ... ...
