4.2　第4课时　等差数列前n项和的性质及应用（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）选择性必修 第二册

(课件网) 第四章 数列 4.2　等差数列 第4课时　等差数列前n项和的性质及应用 学习 目标 1. 探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系． 2. 掌握等差数列前n项和的性质及其应用． 3. 会解决与等差数列前n项和有关的实际应用问题． 典例精讲 能力初成 　　　(1) 在等差数列{an}中，若S10＝100，S100＝10，则S110＝_____． 1 等差数列前n项和的性质 【解析】 探究 1 【答案】－110 (2) 一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差为____． 【解析】 由①知6a1＝177－33d，将此式代入②得(177－3d)·32＝(177＋3d)·27，解得d＝5. 【答案】5 【解析】 D 　　　(2025·新乡期末)(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，已知S8＞0，a5＜0，则 (　　) A. a4＞0 B. d＞0 C. 当Sn＞0时，n的最大值为9 D. 当n＝4时，Sn取得最大值 2 等差数列前n项和的最值问题 探究 2 【答案】AD 【解析】 寻求正、负项分界点的方法： (2) 利用到y＝ax2＋bx(a≠0)图象的对称轴距离最近的一侧的一个整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点． 变式 【答案】BCD 【解析】 　　　某抗洪指挥部接到预报，24 h后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24 h．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20 min能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24 h内能否构筑成第二道防线？ 3 等差数列前n项和的实际应用问题 探究 3 【解答】 随堂内化 及时评价 【解析】 因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，所以S3n＝3(S2n－Sn)＝54. 1. 已知数列{an}是等差数列，且Sn＝20，S2n＝38，则S3n等于 (　　) A. 63　　 B. 54 C. 36　　 D. 27 B 【解析】 2. (2025·厦门期末)某工厂计划今年1月份生产某产品100件，以后每个月都比上个月多生产k(k∈N)件，为保证今年该产品的总产量超过1 800件，则k的最小值为 (　　) A. 10　 B. 11 C. 12　 D. 13 A 【解析】 3. (多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，S4＝S9，则Sn取最大值时n的值可能为 (　　) A. 5　 B. 6 C. 7　 D. 8 BC 【解析】 【解析】 5. 若一个等差数列前20项和为75，其中的奇数项和与偶数项和之比为1∶2，则公差d＝_____． 2.5 配套新练案 一、 单项选择题 1. 在等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则前9项的和S9等于 (　　) A. 66　 B. 99 C. 144　 D. 297 B 【解析】 2. 设等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n的值为 (　　) A. 7　 B. 8 C. 9　 D. 10 D 【解析】 【解析】 C 【解析】 C 【解析】 BC 【解析】 AB 【解析】 2n－11 0 8. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝____，Sn的最小值为_____． 【解析】 在等差数列{an}中，由S5＝5a3＝－10，得a3＝－2，而a2＝－3，故公差d＝a3－a2＝1，a5＝a3＋2d＝0.由等差数列{an}的性质得当n≤5时，an≤0，当n≥6时，an>0，所以Sn的最小值为S4或S5，即为－10. 0 －10 9. 现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为_____. 【解析】 10 四、 解答题 10. (教材P25第 9题 ) 一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务．第一辆车于14时出发，以后每间隔10 min发出一辆车．假设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息． (1) 截止到18时，最后一辆车行驶了多长时间？ 【解答】 (2) 如果 ... ...