微专题3 裂项相消法 典例剖析素养初现 探究1 等差型裂项求和 例1 (2025·厦门期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝12，a2a3＝28. (1) 求an和Sn； 【解答】因为{an}是等差数列，所以a1＋a3＝2a2.又S3＝12，所以a1＋a2＋a3＝3a2＝12，即a2＝4.又因为a2·a3＝28，所以a3＝7，所以公差d＝a3－a2＝3，所以an＝a2＋(n－2)d＝3n－2，Sn＝＝＝. (2) 令bn＝，证明：b1＋b2＋…＋bn＜. 【解答】由(1)知an＋1＝3(n＋1)－2＝3n＋1，所以bn＝＝＝－，所以b1＋b2＋…＋bn＝＋＝.又因为n∈N*，所以＞0，即＜，所以b1＋b2＋…＋bn＜. 常见的裂项技巧： (1) ＝，特别地，当k＝1时，＝－； (2) ＝＝·； (3) ＝. 变式 已知数列{an}为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，a5＝2a2，S3＝a. (1) 求数列{an} 的通项公式； 【解答】设等差数列{an}的公差为d，由a5＝2a2，S3＝a，得又d≠0，解得d＝1，a1＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝n＋1. (2) 求证：＋＋＋…＋<1(n∈N*). 【解答】由(1)知，＝<＝－，所以＋＋＋…＋<＋＋…＋＝1－<1. 探究2 无理型裂项求和 例2 若数列{an}满足a1＝1，＝an＋1. (1) 求证：数列{a}是等差数列，并求出{an}的通项公式； 【解答】由＝an＋1得a－a＝2，且a＝1，所以数列{a}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a＝1＋(n－1)×2＝2n－1.又由已知易得an>0，所以an＝(n∈N*). (2) 若bn＝，求数列{bn}的前n项和． 【解答】bn＝＝＝－，故数列{bn}的前n项和Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1. 含有无理式常见的裂项有： (1) ＝(－)，特别地，当k＝1时，＝－. (2) ＝－等． 在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项． 变式 设数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数n为(A ) A. 120 B. 99 C. 11 D. 121 【解析】因为an＝＝＝－，所以a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1.令－1＝10，即＝11，所以n＋1＝121，解得n＝120. 探究3 指数型裂项求和 例3 (2025·洛阳期末)已知等比数列{an}和等差数列{bn}满足：an＋1＞an，a1＝b1＝1，a2＝b2，3a3＝4b3，{an}的前n项和为Sn. (1) 求数列{an}和{bn}的通项公式； 【解答】因为等比数列{an}满足an＋1＞an，所以{an}为递增数列，设{an}的公比为q(q＞1)，等差数列{bn}的公差为d.又a1＝b1＝1，a2＝b2，3a3＝4b3，所以解得或(舍去)，所以an＝2n-1，bn＝n. (2) 设cn＝，求数列的前n项和Tn. 【解答】因为an＝2n-1，所以Sn＝＝2n－1，故cn＝＝＝－，则Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝＋＋…＋＝1－. 此类常见的形式有： (1) ＝－，＝； (2) ＝－； (3) ＝－. 探究4 通项裂项为“＋”型求和 例4 已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋an＋b，a1＝3，数列{bn}的前n项和Tn＝bn，b1＝2. (1) 求数列{an}和{bn}的通项公式； 【解答】设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d＝n2＋n＝n2＋an＋b，所以解得所以数列{an}的通项公式为an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.因为Tn＝bn，当n≥2时，Tn－1＝bn－1，所以bn＝Tn－Tn－1＝bn－bn－1, 所以bn＝bn－1，即＝.所以bn＝×××…×××b1＝×××…×××2＝n(n＋1). (2) 令cn＝(－1)n，求数列{cn}的前n项和Pn. 【解答】由(1)知cn＝(－1)n＝(－1)n·＝(－1)n.当n为奇数时，Pn＝－＋－＋…－＝－1－＝－；当n为偶数时，Pn＝－＋－＋…＋＝－1＋＝－.综上所述，数列{cn}的前n项和Pn＝ (1) (－1)n·＝(－1)n； (2) (－1)n＝(－1)n. 随堂内化及时评价 1. 在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝an＋lg ，则a100的值为(B ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【解析】因为an＋1＝an＋lg ，所以an＋1－an＝lg ＝lg ＝lg (n＋1)－lg n.因为a1＝2，所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－ ... ...
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