本章总结提升 【知识辨析】 1.√ 2.× 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 【素养提升】 题型一 例1 (1)D (2)BD (3)ABC [解析] (1)∵△ABC的面积S=a2+b2-c2, ∴absin C=a2+b2-c2,又∵cos C=,∴2abcos C=absin C,∴tan C=4.故选D. (2)设a+b=5k,b+c=6k,a+c=7k,其中k>0,则a=3k,b=2k,c=4k,∴sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=3∶2∶4,故A错误,B正确;∵c>a>b,∴C>A>B,∵cos C===-<0,∴C为钝角,∴△ABC是钝角三角形,故C错误,D正确.故选BD. (3)对于A,若A>B,则a>b,由正弦定理可得sin A>sin B,故A正确;对于B,若a=7,b=4,c=,则最小的内角为C,由余弦定理得cos C===,所以C=30°,故B正确;对于C,因为tan C=tan [π-(A+B)]=-tan(A+B)=-,所以tan C(tan Atan B-1)=tan A+tan B,所以tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C,因为 tan A+tan B+tan C>0,所以tan A,tan B,tan C中有0个或2个为负数,又因为A,B,C中最多有一个为钝角,所以tan A>0,tan B>0,tan C>0,即A,B,C都是锐角,所以△ABC为锐角三角形,故C正确;对于D,A=60°,b=4,若三角形有两解,则bsin 60°
0. 又sin B=,∴cos B=,∴ac==, 故S△ABC=acsin B=××=. (2)由(1)知ac=.由正弦定理得=·===,故=, 则b=sin B=. 例3 解:(1)因为sin2A-sin2C-sin2B=sin Csin B, 所以sin2C+sin2B-sin2A=-sin Csin B, 由正弦定理得b2+c2-a2=-bc,由余弦定理得cos A==-,因为A∈(0,π),所以A=. (2)由正弦定理得====2, 所以b+c=2sin B+2sin C=2=2=2sin.因为B∈,所以B+∈,所以b+c∈(,2],又a=,所以△ABC的周长的取值范围为(2,2+]. 变式 解:(1)证明:sin(A-B)sin(A+B)=(sin Acos B-cos Asin B)(sin Acos B+ cos Asin B)=sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2A(1-sin2B)-(1-sin2A)sin2B=sin2A-sin2B. (2)①由a2=b2+bc及正弦定理得sin2A=sin2B+sin Bsin C, 因为sin C=sin(π-C)=sin(A+B), 所以sin2A-sin2B=sin Bsin(A+B), 结合(1)可得sin(A-B)sin(A+B)=sin Bsin(A+B), 又sin(A+B)>0,所以sin B=sin(A-B),又A,B∈(0,π),所以B=A-B,即A=2B, 又C=,A+B+C=π,所以A=. ②由①知A=2B,因为A+B+C=π,所以C=π-3B, 由正弦定理得==,即==,则b==,c== = =. △ABC的周长l=b+c+1=++1=2cos B+1,因为△ABC是锐角三角形,所以0