微突破(一) 三角形中的最值、范围问题 【典型例题】 例1 B [解析] 由正弦定理得==,所以BC===4.因为在锐角三角形ABC中,C=,所以0
,所以∈,所以4∈,即边BC的长的取值范围是.故选B. 例2 解:(1)∵sin Ccos=cos Csin, ∴sin Ccos+cos Csin=0, ∴sin=0. ∵00,所以cos=sin C=2sincos,又∈,所以cos>0, 所以sin=,所以=,所以C=. (2)由(1)知C=,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C, 即4=a2+b2-2abcos=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab,当且仅当a=b时,等号成立,所以ab≤4,则S△ABC=absin C≤×4×sin=,所以△ABC的面积的最大值为.微突破(一) 三角形中的最值、范围问题 1.D [解析] 依题意得5-3,所以0<<,所以<+<,所以的取值范围为.故选C. 3.B [解析] 在△ABC中,由c2=a(a+b),得c2-a2=ab>0,则c>a,所以C>A,所以05,又c0,sin B>0,所以2=, 即cos B=,所以B=. (2)由(1)可知B=,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac,又a+c=2b,即b=, 所以=a2+c2-ac,整理得(a-c)2=0,可得a=c, 所以△ABC为等边三角形. (3)由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac≥ac,所以ac≤7,当且仅当a=c=时,等号成立, 所以△ABC的面积的最大值为×7×=. 7.解:(1)由acos C+ccos A=2bcos B及正弦定理可得2sin Bcos B=sin Acos C+ cos Asin C=sin (A+C)=sin B,因为B∈(0,π),所以sin B>0, 所以cos B=,所以B=. 因为b=12,所以由余弦定理得144=b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,当且仅当a=c=12时,等号成立,所以S△ABC=acsin B=ac≤36, 故△ABC的面积的最大值为36. (2)因为S△ABC=acsin B=ac=4,所以ac=16, 所以b=== =, 所以a+b+c=a+c+≥2+=8+=12,当且仅当a=c=4时,等号成立,故△ABC的周长的最小 ... ... 