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课件网) 13.2.2 空间两条直线的位置关系 第2课时 异面直线 探究点一 异面直线的判断 探究点二 异面直线所成的角 【学习目标】 1.理解异面直线的概念,并能正确画出两条异面直线. 2.掌握异面直线所成的角. 知识点一 异面直线的判断 1.定理 过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线 是异面直线. 2.判断异面直线的方法 方法 内容 定义法 不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线 定理法 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不 经过该点的直线是异面直线 反证法 判定两条直线既不平行也不相交，那么这两条直线就 是异面直线 知识点二 异面直线所成的角 1.定义：如图，与是异面直线,经过空间任意一点，作直线 , ,我们把直线与所成的_____叫作异面直线， 所成的角或夹角. 锐角（或直角） 2.求异面直线所成角的一般步骤 （1）构造：根据异面直线的定义，用平移法（常用三角形的中位线 定理、平行四边形的性质）作出异面直线所成的角或其补角. （2）证明：证明作出的角或其补角就是要求的角. （3）计算：求角度，常利用三角形的边角关系，通过解三角形求解. （4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成 的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角. 探究点一 异面直线的判断 例1（1） 在四棱锥 中，各棱所在的直线为异面直线的有 ___对. 8 [解析] 与直线异面的有直线和 ，同理，底面的各条边所在 直线均与两条侧棱所在直线异面，故异面直线共有 （对）. （2）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原 成正方体，那么，，， 这四条线段所 在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？ 解：还原的正方体如图所示.由图可知， ， ， 这四条线段所在直线中，是异面直线的 有三对，分别为与，与，与 . 变式 如图所示，在三棱锥中，， 是 棱上异于，的不同两点，，是棱 上 异于， 的不同两点，给出下列说法： ①与 为异面直线； ②与， 均为异面直线； ③与 为异面直线； ④与 为异面直线. 其中正确的说法是_____.（填序号） ①②③④ [解析] 因为直线平面,直线平面,点 平面, 点直线,所以由异面直线的判定定理可知, 与 为异面直线, 故①正确；同理,②③④正确. ［素养小结］ 判定异面直线的方法 （1）定义法：利用异面直线的定义，说明两条直线不平行，也不相 交，即不可能同在同一个平面内. （2）利用异面直线的判定定理. （3）反证法：假设两条直线不是异面直线，根据空间两条直线的位置 关系，这两条直线一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可. 探究点二 异面直线所成的角 例2 [2024·江阴四校高一期中]在正方体中， 为 的中点，则异面直线与 所成的角为( ) A. B. C. D. √ [解析] 如图,连接,,设与 交于点,连接, 在正方体 中,易知,, 又, 分别为,的中点,所以 ,, 则四边形 为平行四边形,所以, 所以异面直线与 所成的角就是或其补角. 设正方体的棱长为2,可得 ,,,在 中, 由余弦定理得 , 由,得 ,所以异面直线与所成的角是 . 故选C. 变式1（1） [2024·菏泽一中高一月考]如图，在三 棱锥中，为等边三角形，, 分别 为,的中点，则异面直线与 所成的角为 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为,分别为, 的中点， 所以，则或其补角是异面直线与所成的角. 因为为等边三角形，所以， 故异面直线 与所成的角为 .故选A. √ （2）在三棱柱中,,,,, 分别是 和的中点,则异面直线与 所成的角为____. [解析] 如图,取的中点,连接,, , 分别为,的中点,, 则 （或其补角）为异面直线与 所成的角. 取的中点,连接,,则 且, 又且, 四边形为平行四边形,. 在 中,由,, , 得,则 , ,, , ,,则, 可得,即异面直线与所成的角为. 变式2 如图所示,在 ... ...
