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课件网) 13.2.4 平面与平面的位置关系 第3课时 平面与平面垂直的性质定理以及综合应用 探究点一 平面与平面垂直的性质定理的 应用 探究点二 空间垂直关系的综合应用 【学习目标】 1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出平面与平面垂直的性质 定理,并能够证明. 2.掌握空间中三种垂直关系的判定及性质的综合应用，并能够解 决一些垂直问题的命题. 知识点一 平面与平面垂直的性质定理 1.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法 两个平面垂直,如 果一个平面内有 一条直线_____ 于这两个平面的 _____,那么这条 直线与另一个平 面_____ _____ 面面垂直 线面垂 直 垂直 交线 垂直 2.面面垂直的性质定理的作用： （1）判定直线与平面垂直； （2）由平面外一点作平面的垂线时，确定垂足的位置. 【诊断分析】 （1）若两个平面垂直，则两个平面内任意两条直线互相垂直吗？ 解：不一定垂直.如图①,平面平面,,,但, 不垂直. （2）若平面平面，且直线，则直线 是否垂直于平面 内 的无数条直线？ 解：是.如图②,平面 内存在无数条垂直于两个平面交线的直线, 这些直线都与直线 垂直. （3）黑板所在平面与地面垂直，能否在黑板上画一条直线与地面垂直？ 解：能.设黑板所在平面与地面的交线为， 在黑板上画出一条与 垂直的直线，则所画直线必与地面垂直． 知识点二 空间中垂直关系的转化 线线垂直线面垂直 面面垂直 探究点一 平面与平面垂直的性质定理的应用 例1 如图所示，在四棱锥 中，四边形 是边长为的菱形，侧面 为正三角形， 其所在平面垂直于底面，为 的中点， ． 求证：（1） 平面 ； 证明：连接，，为正三角形， 是的中点， ，又平面平面，平面 平面， 平面， 平面， . 四边形是菱形且 ， 是正三角形， . ， 平面 . （2） . 证明： 由（1）可知，， ， 平面，又 平面， . 变式 如图，在三棱台中，在棱 上，平 面 平面， ， ， ，.证明： . 证明：连接,在中, , , 由余弦定理得 , 则 ,所以, 又平面平面,平面 平面,平面, 所以平面 ,又平面,所以 . 因为,,平面,平面 , 所以平面 ,又平面,所以 , 又,所以 . ［素养小结］ 当题目条件中有面面垂直的条件时，往往要由面面垂直的性质定理 推导出线面垂直，进而得到线线垂直．因此见到面面垂直条件时要 找准两平面的交线，有目的地在平面内找交线的垂线． 拓展 如图所示，四边形 是矩形， ，为的中点，以 为折痕 将折起，使到达 的位置，且平面 平面 ，得到四棱锥 . （1）求证： ； 证明：四边形是矩形,,为 的中点, , 都是等腰直角三角形, ,,即 . 平面平面, 平面平面, 平面, 平面, . （2）求二面角 的余弦值. 解：由（1）知 是等腰直角三角形, . 平面,, , 是二面角 的平面角, 二面角的余弦值为 . 探究点二 空间垂直关系的综合应用 例2 [2024·南通海门中学高一月考] 如图，在四 棱锥中，底面 是菱形，平面 平面， 是边长为2的正三角 形，，是的中点，过点，， 的平面与交于点 . （1）求证： ； 证明：因为底面 是菱形，所以 ， 又 平面， 平面 ， 所以平面 . 因为平面 平面， 平面 ，所以 . （2）求证： ； 证明：由（1）知， ，所以 ， 因为是的中点，所以是 的中点， 又是正三角形，所以 . 因为平面平面， 平面 平面，平面，所以平面 . 因为平面，所以 ，又，所以 . （3）求二面角 的正切值. 解：过作于，连接 ，如图， 由（2）知 平面 ， 因为平面，平面 ， 所以， . 因为，平面， 平面，所以平面 ， 又平面，所以 ， 所以就是二面角 的平面角. 在正三角形中，， ， 因为在中，， ，所以， 所以在 中， . 因为在中， ， 所以二面角的正切值为 . 变式 如图①，在中， ，，分别为， 的中 点，点是线段上的一点，将 ... ...
