第1节 立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积 [学习目标] 1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形,认识柱体、锥体、台体、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.了解球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式. 3.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图. 1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征. 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征. 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 平行、相等且垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 — 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 — 2.直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是:(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两相互垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°),z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧=2πrl S圆锥侧=πrl S圆台侧=π(r′+r)l 4.空间几何体的表面积与体积公式 几何体 名称 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积=S侧+2S底 V=S底·h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积=S侧+S底 V=S底·h 台体(棱台和圆台) S表面积=S侧+S上+S下 V=h(S上+S下+) 球 S=4πR2 V=πR3 圆台、圆柱、圆锥的转化:当圆台的上底面半径与下底面半径相等时,得到圆柱;当圆台的上底面半径为零时,得到圆锥. S圆柱侧=2πrlS圆台侧=π(r+r′)lS圆锥侧=πrl. V圆柱=S底·hV圆台=h(S上+S下+)V圆锥=S底·h. 1.特殊的四棱柱. 2.平面图形的直观图与原平面图形面积间关系S直观图=S原图形. 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”). (1)棱台的侧面一定不会是平行四边形.( ) (2)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.( ) (3)由四个面围成的多面体只能是三棱锥.( ) (4)用一个平行于底面的平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.( ) (5)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√ 2.(人教A版必修第二册P109练习T2(3)改编)如图所示,直观图所表示的平面图形是( ) A.正三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 【答案】 D 【解析】 由直观图中A′C′∥y′轴,B′C′∥x′轴,还原后AC∥y轴,BC∥x轴,所以△ABC是直角三角形.故选D. 3.(人教A版必修第二册P106习题8.1 T8改编)如图,长方体ABCDA′B′C′D′被截去一部分,其中EH∥A′D′∥FG,剩下的几何体是( ) A.棱台 B.四棱柱 C.五棱柱 D.六棱柱 【答案】 C 【解析】 由几何体的结构特征可知,剩下的几何体为五棱柱.故选C. 4.(人教A版必修第二册P119练习T1改编)已知圆锥的表面积为12π cm2,其侧面展开图是一个半圆,则圆锥底面圆的半径为( ) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D. cm 【答案】 B 【解析】 设圆锥底面圆的半径为r,母线长为l,因为侧面展开图是一个半圆,所以πl=2πr,即l=2r,所以πr2+πrl=πr2+πr·2r=3πr2=12π,解得 r=2.故选B. 5.(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为( ) A.2π B.3π C.6π D.9π 【答案】 B 【解析】 设圆柱的底面半径为r,则圆锥的母线长为, 而它们的侧面积相等,所以2πr×=πr×,即2=,故r=3, 故圆锥的体积V=π×9×=3π.故选B. 考点一 空间几何体的结构特征、直观图 [例1] (1)(2025·河南郑州模拟)下列 ... ...
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