第42届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题 2025年10月25日9：00-12：00 提示对于多元函数f化，y,2有，f,2)≡员fxy习=最fx,y2训：不安 余类推。 一，(45分)在许多生物分子的自组装过程中，极性分子间的电偶极相互作 y 用在决定分子排布中扮演着重要角色。在蛋白质片段中，极性分子之问往往 g y=b iB 受到空间限制：一部分极性分子固定在膜或支架上，另一部分可在轨道上滑 动或转动。这种空间几何限制与偶极作用的耦合，形成了高度方向性的势能 分布，决定了生物分子的稳定构型。如图1a,在xy二维平面上棋模拟上述现 0 象：中心固定在坐标原点0处的极性分予A具有永久电偶极矩男，大小为 图la P,方向沿y轴正方向：极性分子B具有水久电偶极矩2，大小也为P,方 向与y轴的夹角为日(-π<0≤π)，质心位于(：，y=b)处，其中b>0,x可变，经过y=b处有一条平行于 x轴的光滑细导轨，分子B的质心由质量可忽略的光滑绝缘轴与导轨连接，绝缘轴垂直于xy平面且长度可 忽略，可以沿若导轨运动。已知分子B的质量为m,质心位于绝缘轴处，为计算方便起见取其绕绝缘轴的 转动惯量为1=mb.x轴方向和y轴方向的单位矢量分别记为6，、号，”真空介电常量为。·不计重力 (1)求极性分子A在极性分子B处产生的电场强度E,: (2)求极性分子B受到的电场力沿x方向的分量F,和其受到的绕绝缘轴的力矩M,导出其静止不动的 条件： (3)分析极性分子B在其平衡位置（只需要考虑其中日较小的那个平衡位置）附近的稳定性，求出分子B 偏离该平衡位置较小时x()和()的一般表达式（由于暂未给出初始条件，结果中可包含待定积分常量）： (4)将极性分子B在初始位置x=a(0
