5.3.5 随机事件的独立性 【学习目标】 1.在具体情境中,了解两个事件相互独立的概念; 2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题; 3.综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解决一些问题. ◆ 知识点 相互独立事件 1.一般地,当 时,就称事件A 与B相互独立(简称独立),事件A与B相互独立的直观理解是,事件A是否发生 影响事件B发生的概率. 2.P(AB)=P(A)P(B),这就是说,两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的 . 3.如果事件A与B相互独立,则与B,A与,与也相互 . 4.有限个事件相互独立 “事件A1,A2,…,An相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若P(A)P(B)=P(AB),则事件A与B相互独立. ( ) (2)P(AB)表示事件A,B同时发生的概率,一定有P(AB)=P(A)P(B). ( ) (3)若把一副扑克牌中的4张K随机分给甲、乙、丙、丁四个人,每人得到1张扑克牌,则事件“甲分到红桃K”与事件“乙分到红桃K”相互独立.( ) (4)若A和B是两个相互独立事件,则1-P(A)P(B)表示事件A,B中至少有1个发生的概率.( ) ◆ 探究点一 相互独立事件的判断 例1 判断下列各对事件是否是相互独立事件. (1)甲组有3名男生和2名女生,乙组有2名男生和3名女生,现从甲、乙两组中各选1名学生参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”; (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”. 变式 (1)[2023·河北邢台高一期末] 设A,B,C为三个随机事件,则“A,B,C相互独立”是“P(ABC)=P(A)P(B)P(C)”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(多选题)[2024·江西吉安高一期末] 某人连续掷两次骰子,事件A1表示“第一次掷出的点数是2”,事件A2表示“第二次掷出的点数是3”,事件A3表示“两次掷出的点数之和为5”,事件A4表示“两次掷出的点数之和为9”.则 ( ) A.A1与A2相互独立 B.A1与A3相互独立 C.A2与A3不相互独立 D.A2与A4不相互独立 [素养小结] 判断事件是否相互独立的方法: (1)定义法:事件A,B相互独立 P(AB)=P(A)·P(B). (2)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响. ◆ 探究点二 相互独立事件发生的概率 例2 甲、乙、丙三个人独立解决同一个问题,三人在一定的时间内能解出该题的概率分别是,,.求: (1)他们都解出该题的概率; (2)他们都没有解出该题的概率; (3)他们能够解决这个问题的概率. 变式 [2024·湖北荆州高一期末] 甲、乙两名篮球选手赛前进行三分球投篮训练,甲每次投中三分的概率为0.8,乙每次投中三分的概率为p,在每次投篮中,甲和乙互不影响.已知两人各投篮一次至少有一人命中三分球的概率为0.94. (1)求p的值; (2)甲、乙两人各投篮两次,求两人共投中三分球三次的概率. [素养小结] 求相互独立事件同时发生的概率的步骤: (1)确定各事件之间是相互独立的; (2)确定这些事件可以同时发生; (3)求出每个事件发生的概率,再求积. 1.下列事件中,事件A,B是相互独立事件的是( ) A.把一枚均匀的硬币抛掷两次,事件A:第一次为正面向上,事件B:第二次为反面向上 B.袋中有2个白球和2个黑球,不放回地摸2个球,事件A:第一次摸到白球,事件B:第二次摸到白球 C.抛掷一枚均匀的骰子,事件A:出现的点数为奇数,事件B:出现的点数为偶数 D.事件A:某人能活到65岁,事件B:某人能活到75岁 2.甲、乙两同名学答同一道题,甲答对的概率为0.85,乙答对的概率为0.74,甲、乙两人答对与否相互独立,则甲、乙两人都答对的概率为( ) A.1 B.0.629 C.0 D.0. ... ...
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