3.2.1单调性与最大（小）值 讲义（含答案）2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的基本性质—单调性与最大（小）值 1、函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 单调区间：如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 注：当函数f(x)有多个增或减区间时，不能用“U”连接，用“，”或“和”连接. 2、单调性的性质 （1）若f（x）在区间D上单调递增 （2）若f（x）在区间D上单调递减 总结：同号为增、异号为减 3、利用定义证明或判断 在区间D上单调性的一般步骤： ①取值：取； ②作差：； ③变形：通常采用通分、配方、因式分解、分子有理化、分母有理化等； ④定号：判断差与0的大小； ⑤下结论. 4、复合函数的单调性 对于复合函数，先将函数分解成和，然后分别讨论(或判断)这两个函数的单调性，再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断，即：f(t)和t＝g(x)单调性相同时，f[g(x)]单调递增；f(t)和t＝g(x)单调性不同时，f[g(x)]单调递减。 5、函数的最值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在，使得f()＝M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． (2)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；存在∈I，使得f()＝M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值． 题型练习 题型一：利用定义证明函数的单调性 1．（24-25高一上·天津滨海新·期中）已知定义在上的函数，且. (1)求的值； (2)利用定义证明函数在区间上单调递增； (3)求函数在区间的最大值和最小值. 2．（24-25高一上·天津西青·期末）已知函数，不等式的解集为或. (1)求函数的解析式； (2)设，判断在区间上的单调性，并用定义法证明. 3．（25-26高一上·天津·阶段练习）已知函数的图象经过点 (1)求函数的解析式，并求的值； (2)用定义证明函数在区间上单调递减． 4．（24-25高一上·广东东莞·阶段练习）已知函数，且. (1)求； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 题型二：求函数的单调区间 1．（24-25高一上·天津河西·期中）下列函数中，在其定义域上是减函数的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·天津东丽·期中）下列函数在区间上为增函数的是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·天津红桥·期中）下列函数在区间上为减函数的是（ ） A． B． C． D． 4．（2024高一上·福建·阶段测试）已知函数在上的图象如图，则函数单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·天津·阶段练习）设，则的单调递减区间为 ． 7．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的单调递减区间是 . 8．（23-24高一上·天津宝坻·阶段练习）已知函数，则的单调递增区间为 . 9．（24-25高一上·天津滨海新·期中）函数的单调减区间是 ． 题型三：复合函数的单调区间 1．（24-25高一上·天津·期中）函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东·阶段练习）函数的单调增区间为（ ） A． B． C．和 D． 3．（24-25高一上·安徽·期中）已知函数，则的单调递减区间为 ． 4．（24-25高一上·北京·期中）函数的值域是 ；单调递减区间是 ． 5．（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域为 ，单调递减区间为 . 6．（24-25高一上·天津·期中）函数 的单调增 ... ...