专题十、参数取值范围之零点比大小 1.求、、的最值或取值范围模型 在选择、填空压轴题中我们常常会遇到如下类型问题： ①不等式恒成立，求的最值或取值范围； ②不等式恒成立，求的最值或取值范围； ③不等式恒成立，求的最值或取值范围； ④不等式恒成立，求的最值或取值范围； ⑤不等式恒成立，求的最值或取值范围； ⑥不等式恒成立，求的最值或取值范围； 对于，通常的方法是构造新函数，则时，从而达到解决此类型题目的目的，但是此方法计算量大而且复杂，从时间成本来说，是没有必要的，故需要采取一些高观点低运算的方法，此类题目可以利用数形结合的思想，如图1所示， 图1 图2 通常是一个凹函数()，意味着与相切时恒成立，是直线与轴的交点，记为，故此类问题可以将的唯一零点求出，满足即可. 同理，在比较时，也可以同样类型转化，如图2所示，此时函数为凸函数()，构造即可，此类解决双参数问题的方法叫做零点比大小. 例题1：已知直线的图像恒在曲线的图像上方，则的取值范围是( ) 答案： 解析：因为，所以为凸函数，零点为，故，当时，，利用零点比大小的模型可知，故选. 例题2：已知恒成立，则的最大值为 ；当取最大值时，的值为 . 答案： 解析：由，如下图，的零点为，直线的零点为，根据零点比大小模型，则，又因为曲线在轴上的截距为，则；当时，直线应为曲线的切线，所以. 例题3：已知对任意恒成立，则的最小值为 . 答案： 解析：由于零点不好求，故需要换元和代数变形才能求出零点，令，则，指对互换得，该题设等价于对任意恒成立，又等价于，如图所示，作出的图像，得到零点，再求出直线的零点，根据零点比大小模型，，所以. 例题4：已知函数，其中是自然对数的底数，若不等式恒成立，则的最小值为 ( ) 答案： 解析：，令，，所以的零点为，直线的零点为，由零点比大小可知，，即，故选. 例题5：已知函数，若不等式在恒成立，则的最小值是( ) 答案： 解析：由可得，如下图，作出的图像，已知是凸函数，则的零点为，直线的零点为，由零点比大小模型可得，则有，故选. 例题6：若直线是函数图像的切线，则的最小值为 . 答案： 解析：由于为直线在时取得的值，故此题需要构造零点为的函数，令，如下图，其零点，则与其相切直线向上平移一个单位为，其零点为，根据两零点比大小模型，则，当且仅当它们相切时取等号，此时. 例题7：已知是函数的切线，则的最小值为 . 答案： 解析：由于是直线在处取得的值，故可以通过平移，让其回到零点位置，令，如图所示，作出与的图像，由零点比大小模型可得，当时相切，则. 例题8：已知直线是曲线的切线，则当时，实数的最小值是 . 答案： 解析：构造函数与函数，作出其图像如下： 可知的零点为的零点为，根据零点比大小模型可得，即，解得. 例题9：若直线与曲线相切，则的最小值为 ( ) 答案： 解析：设的零点为，的零点为，由零点比大小模型可得，所以.故选. 例题10：设曲线上任意一点处的切线方程为，则的可最小值为( ) 答案： 解析：为直线在处的值，所以需要构造处的零点，令，由，可得，作函数和的图像，可知时相切，此时的最小值为，故选. 例题11：已知不等式对任意的实数恒成立，则的最大值为( ) 答案： 解析：由题可知，，作和的图像，如下图所示，的零点为的零点为，由零点比大小模型可知，所以，故选. 例题12：已知不等式对任意实数恒成立，则的最大值为( ) 答案： 解析：由题意将不等式变形为，作函数和直线的图像，如图所示： 的零点为的零点为，由零点比大小模型可知，所以.故选 例题13：已知函数，其中是自然对数的底数，若不等式恒成立，则的最小值为 ( ) 答案： 解析：把不等式变形为，令，其零点为，直线，其零点为，由零点比大小模型可知，即，所以，故选. 例 ... ...
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