专题六、曲线的公切线问题 1.共切点公切线地理：当和与公切线切于同一点，设切点为，如图1，则有如下等量关系： 2.非公共切点公切线定理：当和与公切线切于两点点，如图2，则有如下等量关系： 图1 图2 3.研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使这两个方程表示同一条直线. 例题1：若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 答案： 解析：设直线与和的切点分别为和，则切线分别为和，化简得，，由题意有，解得，从而. 例题2：已知直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则直线在轴上的截距为 . 答案： 分析：设出直线与两曲线的切点，分别求出两曲线在切点处的切线方程，由斜率与截距相等列式求得切点的横坐标，带入切线方程，则答案可求. 解析：设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为，由可得切线斜率分别为，则直线的方程为或，则，解得.所以直线的方程为：，令，可得，所以直线在轴上的截距为，故选. 例题3：若存在过点的直线与曲线和都相切，则( ) 或 或 或 或 答案：或 解析：设过点的直线与曲线相切于点，则切线方程为，即 ，又点在切线上，则或， 当时，，直线与相切，即，则，可得； 当时，，直线与相切，整理得，由，可得，故选 例题4：已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则实数的值为 . 答案： 解析：对曲线求导可得，则切线斜率为，切线方程为，因为它与抛物线相切，则方程有唯一解，即方程有唯一解，故，解得. 例题5：已知函数和的图像有公共点，且在点处的切线相同，则切点的坐标为 . 答案： 解析：求导得，设切点坐标为由已知可得，化简可得，由，，显然，，因此切点的坐标为. 例题6：设函数，它们的图像在轴上的公共点处有公切线，则当时，与的大小关系是 . 答案： 解析：函数与轴的交点为，则也过点，即有；且公共切点为，，则切线斜率为，切线方程为，又，则，所以，设， ，所以函数在单调递减，则，所以. 例题7：若函数与函数的图像存在公切线，则实数的取值范围是 . 答案： 解析：求导，设公切线与函数分别切于点，则过点的切线分别为和，两条切线重合，则有，，代入，得，构造函数，，因为，所以，，则，所以. 例题8：已知函数，若函数的图像上存在点，使得在点处的切线与的图像也相切，则实数的取值范围是 ( ) 答案： 解析：设的切点为，求导，由题意可得，解得，所以，则，则由，，根据函数单调性数形结合可得，即.专题六、曲线的公切线问题 1.共切点公切线地理：当和与公切线切于同一点，设切点为，如图1，则有如下等量关系： 2.非公共切点公切线定理：当和与公切线切于两点点，如图2，则有如下等量关系： 图1 图2 3.研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使这两个方程表示同一条直线. 例题1：若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 例题2：已知直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则直线在轴上的截距为 . 例题3：若存在过点的直线与曲线和都相切，则( ) 或 或 或 或 例题4：已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则实数的值为 . 例题5：已知函数和的图像有公共点，且在点处的切线相同，则切点的坐标为 . 例题6：设函数，它们的图像在轴上的公共点处有公切线，则当时，与的大小关系是 . 例题7：若函数与函数的图像存在公切线，则实数的取值范围是 . 例题8：已知函数，若函数的图像上存在点，使得在点处的切线与的图像也相切，则实数的取值范围是 ( ) y fx) g(x) x 12 fx) g(x) x ... ...
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