专题五、已知曲线的切线方程求参数值及其范围 1.切点的三重身份：(1)切点在切线上；(2)切点在曲线上；(3)曲线在切点处的导数值等于切线的斜率. 2.共切点公切线地理：当和与公切线切于同一点，设切点为，如图1，则有如下等量关系： 3.非公共切点公切线定理：当和与公切线切于两点点，如图2，则有如下等量关系： 图1 图2 例题1：函数在点处的切线方程为，则 ， . 答案： 解析：对函数求导可得，由已知条件可得，即，解得. 例题2：已知曲线在的切线方程为，则 ， . 答案： 解析：对函数求导可得，由题意可知，即，解得. 例题3：若曲线与曲线存在公共切线，则实数的取值范围是 . 答案： 解析：结合函数和的图像可知，如右图： 要使曲线和存在公共切线，只要方程在上有解，从而，令，即直线与函数图像有交点，则，得，，得，所以函数在单调递减，单调递增，所以，所以. 例题4：若函数与函数，在公共点处有共同的切线，则该切线方程为 . 答案： 解析：函数的定义域为，，设曲线与曲线公共点为,由于在公共点处有共同的切线,所以,解得，，由，可得，联立方程组，解得，则切点坐标为，切线斜率为，所以切线方程为. 例题5：已知函数与的图像在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数变化时，实数的取值范围是( ) 答案： 解析：设切点为，则，整理的，所以，解得，且，令，求导得恒成立，所以函数在单调递减，则，即，故选. 例题6：若函数在上仅有一个零点，则 . 答案： 解析：方法一：由已知函数在上仅有一个零点，等价于方程在在上仅有一个解，即方程有一个解，即曲线与曲线在第一象限有唯一交点，此时两曲线相切，设切点为，则，即，即，解得或， (1)当时，，显然不和题意，舍去； (2)当时，，则. 方法二：令，则，得，两边取对数， ，则，令，求导得，由，得，，得，如下图： 数形结合，可知. 例题7：已知为常数，若曲线上存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是 . 答案： 解析：方法一：由题意知曲线上存在某点的导数值为，所以方程有正实数根，即方程有正根， ①当时，显然满足条件； ②当时，需满足，则 综上所述，实数的取值范围是. 方法二：由题意知曲线上存在某点的导数值为，所以方程有正实数根，即方程有正根，令，则直线与函数的的图像有交点，，由，得，，得，则，如下图： 数形结合，可得，即. 例题8：已知点是函数图像上一点，点是函数图像上一点，若存在使得成立，则的值为 . 答案： 解析：因为，且函数的图像是斜率为的直线，所以，解得，则曲线在处的切线方程为，又直线与直线平行，且它们之间的距离为，如图所示： 因为,所以最小时,点为切点且坐标为,所以,解得. 例题9：若直线与曲线相切于点,则( ) 答案： 解析：对求导可得，因为直线与曲线相切于点，所以，解得，故选.专题五、已知曲线的切线方程求参数值及其范围 1.切点的三重身份：(1)切点在切线上；(2)切点在曲线上；(3)曲线在切点处的导数值等于切线的斜率. 2.共切点公切线地理：当和与公切线切于同一点，设切点为，如图1，则有如下等量关系： 3.非公共切点公切线定理：当和与公切线切于两点点，如图2，则有如下等量关系： 图1 图2 例题1：函数在点处的切线方程为，则 ， . 例题2：已知曲线在的切线方程为，则 ， . 例题3：若曲线与曲线存在公共切线，则实数的取值范围是 . 例题4：若函数与函数，在公共点处有共同的切线，则该切线方程为 . 例题5：已知函数与的图像在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数变化时，实数的取值范围是( ) 例题6：若函数在上仅有一个零点，则 . 例题7：已知为常数，若曲线上存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是 . 例题8：已知点是函数图像上一点，点是函数图像上一点，若存在使得成立，则的值为 . 例 ... ...
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