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课件网) 函数的奇偶性、周期性 2026年高考数学一轮复习专题课件★★ 函数的奇偶性 回归教材 奇偶性 定义 偶函数 一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且_____，那么函数f (x)就叫做偶函数 奇函数 一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且_____，那么函数f (x)就叫做奇函数 f(－x)＝f (x) f(－x)＝－f (x) 奇偶函数的性质 (1)奇函数的图象关于_____对称，偶函数的图象关于____对称． (2)若奇函数f (x)在x＝0处有定义，则f(0)＝__． (3)若函数f (x)是偶函数，则f (x)＝f(|x|)，反之也成立． (4)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于y轴对称的区间上具有相反的单调性． (5)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． (6)只有f (x)＝0(定义域是关于原点对称的非空数集)既是奇函数又是偶函数． 原点 y轴 0 一些常见的奇偶函数 若a＞0，且a≠1. (1)函数f (x)＝ax＋a－x为_____函数，函数f (x)＝ax－a－x为_____函数． 偶 奇 奇 奇 奇 周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_____，那么函数y＝f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个_____的正数，那么这个_____就叫做f (x)的最小正周期． f (x＋T)＝f (x) 最小 最小正数 1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”) (1)若函数f (x)是奇函数，则必有f(0)＝0. 夯实双基 答案 (1)× (2)“a＋b＝0”是“函数f (x)在区间[a，b](a≠b)上具有奇偶性”的必要条件． 答案 (2)√ 答案 (3)√ (4)对于函数y＝f (x)，若存在x，使f(－x)＝－f (x)，则函数y＝f (x)一定是奇函数． 答案 (4)× (5)若非零常数T是函数f (x)的一个周期，则kT(k∈N＋)也是函数的一个周期． 答案 (5)√ 2．(课本习题改编)下列函数中为奇函数的是_____；为偶函数的是_____．(填序号) ①f (x)＝2x4＋3x2； ②f (x)＝x3－2x； ③f (x)＝ ； ④f (x)＝x3＋1； ⑤y＝x2sin x; ⑥y＝|ln x|. ②③⑤ ① 3．若函数y＝f (x)(x∈R)是奇函数，则下列各点一定在函数y＝f (x)的图象上的是( ) A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a)) C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a)) √ 解析 ∵函数y＝f (x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)．即点(－a，－f(a))一定在函数y＝f (x)的图象上． 4．(2025·北京通州区期末)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)＝f (x)，当x∈[－1，1]时，f (x)＝x2＋1，则f(2 024.5)等于( ) √ 5．(2025·衡水中学调研)若函数 为奇函数，则实数a的值为_____，且当x≥4时，f (x)的最大值为_____． 2 √ 授 人 以 渔 02 PART TWO 题型一 判断函数的奇偶性(自主学习) 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x)＝x－sin x； 【答案】 (1)奇函数 【解析】 (1)∵x∈R，f(－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sin x＝－f (x)，∴f (x)为奇函数． (2)f (x)＝x3＋x＋1； 【答案】 (2)非奇非偶函数 【解析】 (2)∵x∈R，f(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1＝－x3－x＋1， ∴f(－x)≠±f (x)，∴f (x)为非奇非偶函数． 【答案】 (3)既是奇函数又是偶函数 【解析】 (3)f (x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称． 又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0， 所以f (x)既是奇函数又是偶函数． 【答案】 (4)奇函数 【答案】 (5)奇函数 【解析】 (5)显然函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x<0时，－x>0， 则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f (x)；当x>0时，－x<0， 则f(－x)＝ ... ...
