2025-2026学年北京市东城区第二中学高一上学期第一学段考试数学试卷（含答案）

2025-2026 学年北京市东城区第二中学高一上学期第一学段考试 数学试卷 一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.函数 = 2 + 1 3的定义域是( ) A. 2, + ∞ B. 3, + ∞ C. 2,3 ∪ 3, + ∞ D. 2,3 ∪ 3, + ∞ 2.已知集合 = 1,1,2,4 , = 1 ≤ 1 ，则 ∩ =( ) A. { 1,2} B. {1,2} C. {1,4} D. { 1,4} 3.已知 , , 满足 < < ，且 < 0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A. > B. < 0 C. 2 < 2 D. < 0 4.若 > 0， > 0，则“ > 1”是“ + ≥ 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知 > 0， > 0， + 2 = 4，则 的最大值是( ) A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4 6.函数 ( ) = ( 4) 的单调递增区间是( ) A. ( ∞,0) B. ( ∞,0) ∪ (2, + ∞) C. ( ∞,0)和(2, + ∞) D. (2, + ∞) 7.当 1 ≤ ≤ 2 时，不等式 2 + 5 > 0 有解，则 的取值范围是( ) A. { | < 12 } B. { | > 1 2 } C. { | < 4} D. { | > 4} 8.高二一班共有学生 50 人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课 程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少 20 人，这三门课程都不选的有 10 人，这三门课程 都选的有 10 人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有 13 人，物理、化学只选一科的学生都至少 6 人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多( ) A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 9.已知函数 ( )的定义域为 ，则“ ( )的值域为 ”是“对任意 ∈ ，存在 0 ∈ ，使得 0 > ”的 ( ) 第 1页，共 9页 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.对于实数 ，规定[ ]表示不大于 的最大整数，那么不等式 4 2 63 + 45 < 0 成立的 的取值范围是 ( ) A. 1,15 B. 2,8 C. 1,8 D. 2,15 11.设集合 = 2 + 2 3 > 0 ， = 2 2 1 ≤ 0, > 0 .若 ∩ 中恰含有一个整数，则实数 的取值范围是( ) A. 0, 3 3 4 34 B. 4 , 3 C. 4 , + ∞ D. 1, + ∞ 12.记函数 = 2 在区间 0,1 上的最大值为 ，则 的最小值为( ) A. 3 2 2 B. 2 1 C. 14 D. 1 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 13.命题“ ∈ , 2 + 1 ∈ ”为，其否定为_____ 2 + 5 < 1 14.关于 的不等式组 3 的最小整数解为 1，则符合条件的 的取值范围为 ． 2 ≤ 15.设集合 = 2,3, 2 3 , + 2 + 7 ， = {| 2|, 3}，已知 4 ∈ 且 4 ，则 的取值集合为 ． 16.已知 > > 0，则 + 4 1 + + 的最小值为 ． 3 1, ≤ 1 17.已知函数 = +1 , > 1 ，则 0 = ，若在 上单调递增，则实数 的取值范围为 ． + 18.已知数集 = , + 1 ∪ + 4, + 9 .若存在 ∈ ，使得对任意 ∈ 都有 ∈ ，则称 为完美集，给出 下列四个结论： ①存在 ∈ 0, + ∞ ，使得 为完美集； ②存在 ∈ ∞,0 ，使得 为完美集； ③如果 ，那么 一定不为完美集； ④使得 为完美集的所有 的值之和为 2． 其中，所有正确结论的序号是 ． 三、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(本小题 12 分) 设 = ， = ∣ 2 4 + 3 ≤ 0 ， = | 2 4 < 0 ， = { ∣ ≤ ≤ + 1, ∈ } 第 2页，共 9页 (1)分别求 ∩ ， ∪ ． (2)若 ∩ = ，求实数 的取值范围． 20.(本小题 12 分) 已知二次函数 = 2 + + ( ≠ 0)图象过点 (1, 2), ( 1,0)，且与反比例函数 = 交于点 (3,4)， (1)求二次函数与反比例函数的表达式； (2)若对 ∈ , 2 + + ≥ 3 恒成立，求参数 的取值范围． 21.(本小题 12 分) 已知函数 = + ，其中 ， 为常数，且 1 = 5， 2 = 4． (1)求 ， 的值； (2)利用单调性的定义证明函数 在区间 0,2 上是减函数； (3) 1求函数 在区间 2 , 3 上的最大值和最小值． 22.(本小题 12 ... ...