(课件网) 5.2 勾股定理及其逆定理 课时1 勾股定理 第5章 直角三角形 1. 了解勾股定理的文化背景，体会勾股定理的探索过程. 2. 了解利用拼图法验证勾股定理的方法. 3. 能利用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题. 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等，我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么它们一定会识别这种语言的，这个事实可以说明勾股定理的重大意义. 我国古代3000多年前有一个叫商高的人，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五.” 【观察】如图，在方格纸上（设小方格的边长为1）画一个顶点都在格点上的Rt△ABC，使其两直角边分别为3，4，将斜边AB绕点A旋转，使其处于水平位置，你发现这条斜边的长度是多少？ 可以发现，两直角边分别为3，4的直角三角形，其斜边为5. 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，斜边称为“弦”. 按照商高的说法，如果勾长为三，股长为四，弦长必定是五. 你知道为什么吗？ 勾 股 由于正方形的面积等于其边长的平方，于是可以借助正方形探究这一结论. 【探究】画一个边长为a+b的正方形，将其分割成四个小直角三角形和一个四边形，其中小直角三角形的两直角边都分别为a，b，斜边都为 c，如图所示. 由此，你能探索出a2+ b2 =c2这一结论吗？ 由于四边形ABCD的面积S等于大正方形EFGH的面积减去4 个小直角三角形的面积. 因而S=(a+b)2-ab×4 =a2+2ab+b2-2ab=a2+b2 在△ABE与△BCF中， 所以△ABE△BCF（边角边）， 因此∠1=∠3. 又∠1+∠2=90°， 所以∠3+∠2=90°， 因此∠CBA=180°-(∠3+∠2)=90°. 同理可证∠DCB=∠ADC=∠BAD=90°. 又BC=CD=DA=AB=c， 因此四边形ABCD是正方形， 所以S=c2. 综上可知，S=a2+b2=c2. AE = BF， ∠AEB = ∠BFC， BE = CF， 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2. 这一结论称为勾股定理. 这个的动图形象的说明了勾股定理的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想. ┌ B C A a（勾） c（弦） b（股） 证法一：赵爽弦图 b b a a c 边长分别为a，b的两个正方形分割成四个直角三角形和一个小正方形. 四个直角三角形和一个小正方形拼接成边长为c的大正方形. c b a a b b c a b a 跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明勾股定理. b b a a c c a b 左边图形的面积= a2+b2 ∵右边图形由左边图形拼接而成， ∴得到a2+b2=c2 . “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.并且，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽. 右边图形的面积=c2 证法二：加菲尔德总统拼图 b b a a c c ┐ ┌ ┌ （1） （2 + ∴ a2+b2=c2. 证法三：毕达哥拉斯拼图 b b b b a a a a c c c c b b b b a a b a a c c 分别计算左右两个正方形的面积，你能得出什么结论？ b b b b a a a a c c c c b b b b a a b a a c c 4 4 几何 代数 勾股定理 变式： a2＝c2－ b2，b2＝c2－ a2 勾股定理反应了直角三角形三边的关系，成为沟通几何和代数的桥梁. 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2. ┌ B C A a（勾） c（弦） b（股） 勾股定理 例1 在△ABC中，已知∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c. （1）若a=1，b=2，求c. （2）若a=15，c=17，求b. 解：（1）根据勾股定理得，c2=a2+b2=12+22=5. 因为c>0，所以c= （2）根据勾股定理得，b2=c2-a2=172-152=64. 因为b>0，所以b=8. 例2 如图，已 ... ...
