16.3.1平方差公式 课件(共21张PPT) 2025-2026学年数学人教版八年级上册

(课件网) 1.探索平方差公式，理解平方差公式的几何意义. 2.掌握平方差公式的结构特征，能熟练运用平方差公式进行计算. 某校组织了《“徽”聚梦想 引领班风》的班徽创意设计大赛，小颖同学积极参赛，先设计了一个正方形的班徽图形(如图)，准备进一步优化改造，加一些文字；需要将原正方形的一组对边增加3cm，另一组对边减少3cm，改造以后的图形面积与原来的面积相比相同吗？ 除了多项式乘多项式的方法， 你还有更简单的方法 验证吗 (1)(x＋1)(x－1)= ； (2)(m＋2)(m－2)= ； (3)(2x＋1)(2x－1)= . x2－1 m2－4 4x2－1 探 究 计算下列各式： 思考:观察以上算式及其运算结果，你有什么发现 ①都是形如a+b的多项式与形如a+b的多项式相乘； ②两数和×两数差=平方差. 猜想:(a+b)(a－b)=a2－b2 (a+b)(a－b) = a2－ab+ab－b2 (多项式乘多项式) = a2－b2 (合并同类项) 猜 想 (a+b)(a－b)=a2－b2，如何验证猜想是否正确 所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写出运算结果，即 (a+b) (a－b) =a2－b2 归纳总结 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. (a+b) (a－b) =a2－b2 这个公式叫作(乘法的)平方差公式： 平方差公式是多项式乘法(a+b)(p+q)中p=a，q=－b的特殊情形. 思 考 你能根据下图图形的面积说明平方差公式吗 a b a b b ① ② ③ ④ 分析：观察由图形各边长可知，(1) S①+S②=S①+S③； (2) 区域④和区域(①+③+④)均为正方形. 由图可知：S①+S②= (a+b) (a－b) ， S①+S③= a2－S④ = a2－b2， ∵S①+S②=S①+S③， ∴(a+b) (a－b)= a2－b2 问题解决 某校组织了《“徽”聚梦想 引领班风》的班徽创意设计大赛，小颖同学积极参赛，先设计了一个正方形的班徽图形(如图)，准备进一步优化改造，加一些文字；需要将原正方形的一组对边增加3cm，另一组对边减少3cm，改造以后的图形面积与原来的面积相比相同吗？ 解：设原来正方形的边长为a cm，面积为a2cm2， 变化后图形的长为(a+3)cm，宽为(a﹣3)cm， 则变化后的面积为(a2﹣9)cm2， 因为a2＞(a2﹣9)，所以改造以后的图形面积与原来的面积相比减少了. = ( 3x )2－22. 例1 计算： (1)( 3x + 2 )( 3x－2 ) ； 分析：在(1)中，可以把3x看成a，2看成b，即 ( 3x + 2 )( 3x－2 ) ( a + b )( a － b ) = a2 － b2 解：(1)(3 x + 2 )( 3 x－2 ) = (3 x)2－22 = 9x2－4； 例1 计算： (2) (－x + 2y ) (－x－2y ) . (2)(－x + 2y ) (－x－2y ) = (－x)2－( 2y )2 = x2－4y2 . 例2 计算： (1) (x－1)(x + 1)(x2 + 1) ； 解：(1) (x－1)(x + 1)(x2 + 1) =(x2－1)(x2 + 1) = x4－1； 例2 计算： (2) (y + 2)(y－2)－(y－1)(y + 5)； (2) (y + 2)(y－2)－(y－1)(y + 5) =y2－22－(y2 + 4y－5) = y2－4－y2－4y + 5 =－4y + 1； 不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算. 例2 计算： (3) 102×98. (3) 102×98 =(100 + 2)(100 － 2) = 1002－22 = 1000－4 = 9 996. 归纳总结 1.左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； 2.右边是相同项的平方减去相反项的平方； 3.公式中的 a 和 b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式． 应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： 平方差公式的常见变形 位置变化 (b+a)(－b+a)=a2－b2 符号变化 (－a－b)(a－b)=b2－a2 系数变化 (2a+3b)(2a－3b)=4a2－9b2 指数变化 (a2+b2)(a2－b2)=a4－b4 换式变化 (a+b+c)(a－b－c)=[a+(b+c)][a－(b+c)]=a2－(b+c)2 增项变化 (a+b+c)(a+b－c)=(a+b)2－c2 连用公式 (a+b)(a－b)(a +b )=(a －b )(a +b )=a －b 逆用公式 a －b =(a+b)(a－b) 1.下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　) A．(x ... ...